相对论浅说(三) 广义相对论的基本方程

4. 广义相对论的基本方程是什么？

先把这个方程给祭出来

爱因斯坦场方程

那这个方程是怎么来的?首先是要从潮汐力说起。

下面计算相邻两条测地线的相对加速度。设两条测地线之间的偏移向量(横向s坐标方向)为

某条测地线s的四速度(τ坐标方向)为

相对论浅说(三) 广义相对论的基本方程

那么偏离向量方向上的相对加速度为

测底线偏离方程

事实上这个测地线偏离计算的是潮汐力。潮汐力由于不均匀引力场作用到质点集合，相邻的质点存在加速度差，这个就是相对加速度a或者写成A。取弱场近似

潮汐力由卫星引起

牛顿引力计算的潮汐力

相对加速度

对比上面两个式子可以发现

其中Φ是牛顿引力势。

结合泊松方程我们可以猜测爱因斯坦场方程

猜测一:Rμν=κTμν,其中Tμν是物质部分。然而我们会得到一下结果

结果表明T不依赖时间，空间处处相同，就是说宇宙物质各处物质密度一样。这是不合理的。

猜测二:  就是下面的Hμν。当b=0,那么就是Gμν。这个就比较合理。它既能满足物质守恒律，又能符合几何恒等式。

几何恒等式 能动量守恒律
Lovelock定理

而且这个爱因斯坦张量就只有类似Hμν=a Gμν+b  gμν这样的一种。这个被称为Lovelock定理。

如何选定爱因斯坦系数κ。

εγ是个远远小于1的量，即引力很弱。假设场方程如下。

物质部分为这样一个矩阵:

第一步:低速弱场近似，测地线方程可以推导出

引力势的梯度相反数就是加速度。解得度规00分量为

再结合泊松方程，可得

以上可参考参考《微分几何入门与广义相对论》或者参考文献广义相对论II。

如何用作用量推导爱因斯坦场方程。希尔伯特-爱因斯坦作用量如下。

通过对度规的变分，并且定义能动张量，我们可以得到

含有宇宙学常数的爱因斯坦场方程 能动张量的定义

关于广义相对论的实验验证有很多。

如水星进动，引力红移，光线偏折，引力波探测，空间拖曳效应等。两次引力波不同探测方式，(间接探测)上世纪观测的双星轨道周期衰退和(直接探测)最近的LIGO双黑洞合并事件贡献了两个诺贝尔奖。

水星进动示意图
水星进动
引力波直接探测

可以参考这篇广义相对论实验检验综述《The Confrontation between General Relativity and Experiment 》。

引力波经过的物体有个形变过程 引力波的间接探测:追踪PSR1913+16近30年的轨道衰减(时间偏移)

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之后可能的内容

5.如何求解广义相对论的黑洞解?

6.广义相对论对水星进动是如何解释?

7. 现在为什么又要修改广义相对论?

8.  双生子佯谬和《星际穿越》中的年龄问题是一回事吗?”