第三段（5～6年级）
【内容要求】
（1）知道2，3，5的倍数的特征，了解公倍数和最小公倍数，了解公因数和最大公因数，了解奇数、偶数、质数（或素数）和合数。
（2）结合具体情境探索并理解小数和分数的意义，感悟计数单位；会进行小数、分数的转化，进一步发展数感和符号意识。
（3）结合具体情境理解整数除法与分数的关系（例16）。
例16 除法可以写成分数的形式
为什么4÷2可以写成4/2?
【说明】首先，可以通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系。前者可以表示4个苹果平均分给2个人，每人分到2个；后者可以表示4个苹果的1/2，等价于2个苹果。
其次，通过算理进行一般性说明。怎样知道“4÷2=⊿”中的“⊿”是多少?由于除法是乘法的逆运算，它等于“4=⊿×2”。根据等式的基本性质，等式两边同乘1/2后等式不变，计算得到4×1/2=⊿。根据基本事实“等量的等量相等”，所以4÷2=4×1/2成立。
最后，因为4×1/2表示4个1/2相加，所以写成4/2，即4÷2=4/2。这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数。
（4）能进行简单的小数、分数四则运算和混合运算，感悟运算的一致性，发展运算能力和推理意识。
2.数量关系
（1）根据具体情境理解等式的基本性质（例17）。
例17观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现。
（1）17+8=25
17+8-5=25-5
17+8+10=25+10
（2）20×3=60
20×3×4=60×4
20×3÷2=60÷2
【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质。第一组是等式的基本性质1，即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”。第二组是等式的基本性质2，即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”。这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方程时会用到。
（2）在解决实际问题的过程中，会选择合适的方法进行估算（例18）
例18 估算的上届和下届
李阿姨去商店购物，带了100元，她买了2袋面，每袋30.4元；又买了1块牛肉，用了19.4元。她还想买1条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她此时剩余的钱够不够买小鱼?够不够买大鱼?
【说明】对于给定的数量，许多估算问题是为了得到上届或者下届。为此，需要对给定的数量进行适当放大或缩小，凑整计算。此例中两个问题的核心都是估计用100元购物后的剩余金额，但两种估计方法有所不同。
第一问“够不够买小鱼”需要估计剩余金额的下届（至少剩余多少元），如果下届超过15.8元，就够买小鱼。对于估计下届的问题，购物金额要适当地放大。例如，买1袋面不超过31元，买2袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；总共不超过62+20=82（元），至少还剩100-82=18（元）。所以，李阿姨剩余的钱买1条小鱼是够用的。
第二问“够不够买大鱼”需要估计剩余金额的上届（至多剩余多少元），如果上届不到25.2元，就不够买大鱼。对于估计上届的问题，购物金额要适当地缩小。例如，买1袋面至少要30元，买2袋面至少要60元；买牛肉至少要19元；总共至少要60+19=79（元），至多还剩100-79=21（元）。所以，李阿姨余的钱不够买1条大鱼。
（3）在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性（例19）。
例19用字母表示数量关系或规律
（1）小华比小明多5张漫画卡。如果小明有8张，小华有几张?如果小明有12张呢?如果小明有若干张，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡?
（2）我们学习过一些图形面积的计算公式，还学过加法和乘法的运算律，你能用字母表示这些计算公式和运算律吗?
（3）如图6，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可做6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可做多少人?
【说明】这三个问题涉及用字母表示数量关系或规律。
（1）教学时，可以先从具体数量入手；小明有8张、12张时，小华的漫画卡数量应如何表示?如果小明有不知道具体数量的若干张时，小华的漫画卡数量可以表示为（5+a）,其中的字母a表示小明的漫画卡数量，是一个变化的值。
（2）让学生探索用字母表示面积计算公式和运算律的过程，感悟用字母表示所得到的结果具有一般性。
（3）让学生经历用字母表示变化规律的过程，培养符号意识。1张餐桌可做4人，2张餐桌拼在一起可做6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，以此类推，n张餐桌拼在一起可坐（2n+2）人。
（4）在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。
（5）通过具体情境，认识成正比的量（如y/x=5）（例20）；能探索规律或变化趋势（如y=5x）（例21）。
例20 认识成正比的量
王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，如果购买2千克，3千克……分别需要多少元?
【说明】可以借助列表或者画图象的方法分析问题，例如，把计算的结果记录在表5中。
观察表5可以发现，随着购买苹果数量的增多，总价也增多，这两个量变化的最基本特征是:总价与数量的比值保持不变。可以把这个关系表示为总价/数量=5，或者用符号表示为y/x=5，这时称y和x为成正比的量。
例21 探索数量之间的变化规律
王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，够买2千克、3千克……分别需要多少元?探索其中的规律。
【说明】这是例20的延续。从例20的说明中可以知道，为了保证两个数量的比值保持不变，这两个数量必须一起变化。显然，也可以把这个表达式转化为y=5x的形式。这样的表达能够更好地体现“随着购买苹果数量的增多，总价也增多”的变化规律，这就是初中将要学习的正比例函数。
（6）能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。
【学业要求】
1.数与运算
能找出2，3，5的倍数。在1～100的自然数中:能找出10以内自然数的所有倍数，10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数；能找出一个自然数的所有因数，两个自然数的公因数和最大公因数；能判断一个自然数是否是质数或合数。
能用直观的方式表示分数和小数，能比较两个分数的大小和两个小数的大小；会进行小数和分数的转化（不包括将循环小数转化分数）。能在实际情境中运用小数和分数解决问题，进一步发展符号意识和数感。
能进行简单小数和分数的四则运算和混合运算（不超过三步），并说明运算过程。能在较复杂的真实情境中，选择恰当的运算方法解决问题，形成运算能力和推理意识。
2.数量关系
能在具体问题中感受等式的基本性质（例17）。
【例17观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现。
（1）17+8=25
17+8-5=25-5
17+8+10=25+10
（2）20×3=60
20×3×4=60×4
20×3÷2=60÷2
【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质。第一组是等式的基本性质1，即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”。第二组是等式的基本性质2，即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”。这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方程时会用到。】
能在解决实际问题中运用恰当的方法进行估算，并能描述估算的过程。
能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具体有一般性。
能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性。
能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量，能解决按比例分配的简单问题。
能在具体情境中描述成正比的量y/x=k（k≠0），能找出生活中成正比的量的实例；能根据给出的成正比关系的数据在方格纸上画图，了解y=kx（k≠0）的形式，能根据其中一个量的值计算另一个量值。
能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。
【教学提示】
数与运算的教学。通过整数的运算，感悟整数的性质；通过整数、小数、分数的运算，进一步感悟计数单位在运算中的作用，感悟运算的一致性。
数的认识教学要引导学生根据数的意义，用列举、计算、归纳等方法，探索2，3，5的倍数的特征，理解公因数和公倍数、奇数和偶数、质数和合数，形成推理意识。
在初步认识小数和分数的基础上，引导学生在具体情境中，理解小数和分数的意义，感悟计数单位。在教学过程中，可以让学生体验与小数有关的数学文化（例22），理解、描述各数位上数字的意义，进一步提升数感。
【例22 圆周率的故事
通过讲述祖冲之计算圆周率的故事，让学生感知圆周率的逼近过程，同时，也理解小数的十进制名称的表达，感受中国古代数学家的杰出贡献。
【说明】据《随书》卷十六《志》第十一《律历》记载，南北朝时期的祖冲之的到圆周率的结果是:
以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，肭数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈肭二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。……所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。
因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926和3.1415927之间；根据不同的需要，可近似取作22/7（约率）或355/113（密率）。由此可以看到，祖冲之得到的圆周率精确到小数点后第6位，这个结果领先世界约1000年之久。
特别值得指出，类似自然数的单位（如个、十、百、千、万等），祖冲之清晰地表达、定义了十进制的小数单位——尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小数点后七位。由此可见，中国古代人民对于小数的理解和表达都是深刻的。】
数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的过程中，引导学生理解通分的目的是得到同样计数单位，进一步理解计数单位对分数表达的重要性，理解整数、分数、小数的加减运算都要在相同计数单位下进行，感悟加减运算的一致性。
数量关系的教学。理解用字母表示的一致性，形成初步的代数思维。
用字母表示的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律。例如:用字母表达常见数量关系及其变形，“路程=速度×时间”表示s=v×t,这个关系的变式表示为v=s÷t，t=s÷v；还可以表达图形的周长和面积计算公式等，感受字母表达的一致性。运用数和字母表达数量关系，通过运算或推理解决问题（例23），形成与发展学生的符号意识、推理意识和初步的应用意识。
【例23 用字母表示数量关系
回顾例19（3）的情境，请用字母表示餐桌数与人数之间的关系。
【说明】引导学生用不同的字母分别表示餐桌数与人数，建立二者之间的关系。例如，用a表示餐桌数，b表示人数。根据问题的背景，可以建立关系式:b=b+2a+2。
引导学生理解，如果知道两个量中的一个量，就可以通过对关系式的四则运算得到另一个量。在上式中，如果a=2，那么b=6；如果a=3，那么b=8。反之亦然。在这样的过程中，启发学生进一步感悟可以用字母表示数量关系，让学生初步经历通过具体数值的计算归纳一般关系的过程。】
估算教学要借助真实情境，引导学生在选择合适单位估算的基础上，感悟选择合适的方法估算的重要性，提高解决问题的能力，发展初步的应用意识。
比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系。例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分分配的问题。
成正比的量教学要在具体情境中呈现两个成正比的量的变化规律，引导学生理解可以把这个规律表示y/x=k（k≠0）的形式，也可以表示为y=kx（k≠0）的形式，感悟这两个表达的共性与差异；引导学生尝试在方格纸上画出给定的成正比的量的数据，建立几何直观，为初中学习函数积累经验。
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