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近世代数理论基础19:环的分类

近世代数理论基础19:环的分类

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-25 08:10 被阅读27次

    环的分类

    整环

    定义:若环R是含幺、交换、无零因子环,则称R为整环

    例:(Z,+,\cdot),(F[x],+,\cdot)是整环,(M_n(R),+,\cdot),(2Z,+,\cdot)不是整环,

    注:整环是无零因子环,消去律成立

    可逆元

    设R为含幺环,a\in R,若\exists b\in R,使ab=ba=1,则称a为可逆元,易证,若a是可逆元,则满足条件ab=ba=1的b是唯一的,称为a的逆元,记作$a^{-1},若a是可逆元,则a不可能是左(右)零因子

    定理:设R为含幺环,令R^*为环R中所有可逆元所成的集合,则R^*在环R中乘法的意义下构成群

    证明:

    由环的定义

    乘法满足结合律

    在R^*中,乘法仍满足结合律

    由R是含幺环

    \therefore 单位元1\in R

    \therefore 1\in R^*

    \forall a\in R^*

    由a是可逆元,则a^{-1}也是可逆元

    \therefore a^{-1}\in R^*

    \therefore R^*在乘法的意义下构成群\qquad\mathcal{Q.E.D}

    例:

    1.整数模n的剩余类环Z/nZ,由可逆元的定义

    [a]为可逆元\Leftrightarrow \exists [b]\in Z/nZ,使[a][b]=[ab]=[1]

    \Leftrightarrow ab\equiv 1(mod\; n)

    \Leftrightarrow \exists s\in Z使ab-1=sn

    \Leftrightarrow ab-sn=1

    (a,n)=1,(Z/nZ)^*=\{[a]|(a,n)=1\}

    易证,在环Z/8Z中,只有[1],[3],[5],[7]是可逆元,且[1]^{-1}=[1],[3]^{-1}=[3],[5]^{-1}=[5],[7]^{-1}=[7]

    2.设F是域,在矩阵环M_n(F)中,一个n阶方阵A是可逆元\Leftrightarrow |A|\neq 0,所有n阶可逆矩阵的集合记作GL_n(F),称为一般线性群

    定义:设R是一个至少包含两个元的含幺环,若R中任一非零元都是可逆元,则称R为除环,若R为交换的除环,则称R为域

    例:设p为一个素数,则(Z/pZ,+,cdot)为域

    显然,Z/pZ是含幺交换环,\forall [a]\neq [0],p是素数,a与p互素,[a]为可逆元

    Z/pZ中只有有限个元,称为有限域

    有限域在密码和编码中有重要应用

    非交换除环

    例:设e=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},i=\begin{pmatrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{pmatrix},j=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},k=\begin{pmatrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{pmatrix}

    H=\{a_0e+a_1i+a_2j+a_3k|a_0,a_1,a_2,a_3\in R\}\in M_2(C),则H关于矩阵的加法和乘法构成一个非交换的除环

    易知H中的元可表成\begin{pmatrix}a_0+a_1\sqrt{-1}&a_2+s_3\sqrt{-1}\\-a_2+a_3\sqrt{-1}&a_0-a_1\sqrt{-1}\end{pmatrix}

    由矩阵的定义,H的任一元有且只有一种方法写成a_0e+a_1i+a_2j+a_3k的形式,H上的加法和乘法分别定义为矩阵的加法和乘法

    易证e,i,j,k之间的乘法运算满足:

    i^2=j^2=k^2=-e

    ij=-ji=k

    jk=-kj=i

    ki=-ik=j

    易证H对矩阵的加法和乘法构成一个环,e是乘法的单位元

    且H中每个非零元都有逆元

    \alpha=a_0+a_1\sqrt{-1},\beta=a_2+a_3\sqrt{-1},则H中的元可表成

    x=a_0e+a_1i+a_2j+a_3k=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\-\overline{\beta}&\overline{\alpha}\end{pmatrix}

    其中,\overline{\alpha},\overline{\beta}分别表示\alpha,\beta的共轭复数

    x\neq 0,则a_0,a_1,a_2,a_3不全为零,x的行列式为

    det\; x=\alpha\overline{\alpha}+\beta\overline{\beta}=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\neq 0,故x有逆元,且

    x^{-1}={1\over det\; x}\begin{pmatrix}\overline{\alpha}&-\beta\\\overline{\beta}&\alpha\end{pmatrix}

    ={1\over det\; x}(a_0e+a_1i+a_2j+a_3k)

    故H是一个除环,称为实四元数除环

    H中的乘法不符合交换了,H不是域

    无零因子环特征

    设R是一个环,则(R,+)是交换群,设a\in R,则a关于加法有一个阶o(a),或无限大,或是有限整数

    若a在加群(R,+)中的阶为一个有限整数m,则ma=0

    例:在环(Z/6Z,+,\cdot)中,[2]的加法阶为3,即3\cdot[2]=[2]+[2]+[2]=[6]=0

    同理,[3]的加法阶为2,即在环R中,不同元的加法阶不一定相同

    定理:设(R,+,\cdot)是无零因子环,则R中每一个非零元的加法阶都相同,要么同为无限大,要么同为素数

    证明:

    \forall a,b\in R,a\neq 0,b\neq 0,n\in Z_+

    由(na)b=a(nb),R为无零因子环

    na=0\Leftrightarrow nb=0

    \therefore a与b在(R,+)中有相同加法阶

    设p为(R,+)中非零元的加法阶

    若p不是素数

    则p=p_1p_2

    其中p_1\gt 1,p_2\gt 1

    \forall a\in R,a\neq 0,有

    0=pa^2=(p_1p_2)a^2=(p_1a)(p_2a)

    \because R中无零因子

    \therefore p_1a=0或p_2a=0

    与p是(R,+)中非零元的阶矛盾

    \therefore p必为素数\qquad\mathcal{Q.E.D}

    特征

    定义:设R是无零因子环,当R中非零元的加法阶为无限时,则称R的特征为0,当R中非零元的加法阶为素数p时,则称R的特征为p,环R的特征简写作char(R)

    char(R)=0,则对R中任意非零元a,na\neq 0,\forall n\in Z_+,与数的运算规律一致

    在含幺元的无零因子环中,用单位元1判断R的特征

    例:char(Z)=0,char(Q)=0,char(Q[x])=0,char(Z/7Z)=7,一般,设p为素数,则有限域Z/pZ的特征为p

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