左右手坐标系下三维位姿（旋转、平移）的转换

作者: 狗子孙 | 来源:发表于2021-04-10 22:08 被阅读0次

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太长不看

假设右（或左）手坐标系下的旋转矩阵和平移向量分别为 $R$ 和 $T$ ，左（或右）手坐标系下分别为 $R^{’}$ 和 $T^{’}$ ，假设 $S = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ ，则有
$R = S \cdot R^{’} \cdot S \\ T = S \cdot T^{’}$

推导

右手食指为Y轴正方向，中指为Z轴正方向，大拇指为X轴正方向，这样的坐标系为右手坐标系。右手换成左手则为左手坐标系。将一个坐标系的一个轴取反向，则改变了手性；两个轴取反向，则等价于绕第三轴旋转180度；将三个轴都取反向，则是前面两者的叠加，改变手性+旋转。

左右手坐标系的转换在图形学开发中经常出现，例如OpenGL使用右手坐标系，Unity使用左手坐标系。下文所述右手坐标系即是OpenGL坐标系，左手坐标系即是Unity坐标系。

左右手坐标系示意图

左手坐标系下有一个点 $P_l=(x,y,z)^T$ ，则在右手坐标系下，该点应该表示为 $P_r=(-x,y,z)^T$ 。

假设空间中有变换矩阵
$S=\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}=S^{-1}$

则左右手坐标系下点的变换即可用 $S$ 来表示，即
$P_l = S \cdot P_r \\\\ P_r = S \cdot P_l$

假设空间中有旋转矩阵 $R$ 和平移向量 $T$ ，世界坐标系下有点 $P_w$ ，对应相机坐标系下有点 $P_c$ ，则有
$P_c = R \cdot P_w + T$

假设 $P_c$ 、 $P_w$ 、 $R$ 、 $T$ 均定义在右手坐标系下， ${P_c}^{’}$ 、 ${P_w}^{’}$ 、 ${R}^{’}$ 、 ${T}^{’}$ 分别为上述变量在左手坐标系下的定义，即
$P_c = R \cdot P_w + T \\\\ {P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’}$

左右手坐标系下位置的变换我们已经知道，即 ${P}^{’}=S \cdot P$ ，则有
${P_c}^{’} = {R}^{’} \cdot {P_w}^{’} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ S \cdot {P_c} = {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {T}^{’} \rightarrow \\\\ {P_c} = {S}^{-1} \cdot {R}^{’} \cdot S \cdot {P_w} + {S}^{-1} \cdot {T}^{’}$

已知右手坐标系下 $P_c = R \cdot P_w + T$ ，故有左右手坐标系下旋转矩阵和平移向量的的转换
$R = S^{-1} \cdot R^{’} \cdot S = S \cdot R^{’} \cdot S \\\\ T = S^{-1} \cdot {T}^{’} = S \cdot {T}^{’}$

以上

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