前馈神经网络

作者: 没天赋的学琴 | 来源:发表于2020-02-17 14:11 被阅读0次

前馈神经网络

前馈神经网络，又称FNN(Feedforward Neural Network)，是一种最简单的神经网络结构，FNN结构是由最基本的神经元(neuron)堆叠而成；在每个神经元会做两步操作：1.与对应权重相乘累加，称为神经元状态。2.累加后的结果传入激活函数 $\sigma(\omega^Tx)$ 。激活函数的值即为一个神经元的输出。

单个神经元结构
一个简单的FNN是由输入层、输出层以及隐藏层(一个或多个)组成，下图就是一个简单的FNN，它拥有一层隐藏层(4个神经元组成)，输入层(通常不做任何处理)，输出层(2个神经元组成，代表最后输出是一个二维向量)。通常网络中还会有偏置层，即为下图中“+1”的部分。

简单的FNN网络
而本文仲描述FNN的记号：

$n_l$ ：第 $l$ 层的神经元个数；
$f()$ ：神经元的激活函数；
$W^{[l]} \in R^{n_l*n_{l-1}}$ ：第 $l$ 层隐含层的权重所组成的矩阵
$b^{(l)}$ ：第 $l$ 层的偏置
$z^{(l)}$ ：第 $l$ 层神经元的状态
$a^{(l)}$ ：第 $l$ 层神经元的激活值(即神经元输出值)

总的来说，FNN的模型可以描述成： $f_L(...f_k(...(f_2(f_1(x)))...)...)$ 每经过一个隐含层就再给其增加一个中间函数，而每个隐含层所代表的具体的中间函数形式，是比较难解释。

前馈神经网络的损失函数

与其他机器模型一样，FNN也需要模型训练时需要的目标cost function，也叫做loss function。常用的loss function有：

$L(t,y)= \frac{1} {2} {(t - y)^2}$ (squared loss，用于实数预测回归)；
$L(t,y)= -(ylogt + (1 - y)log(1-t))$ (用于二项分类，逻辑回归)；
$L(t,y)=- \sum _{j=1} ^{k} {y_jlog t_j}$ (cross entropy loss，用于softmax回归)；

与linear regression和logistic regression有些不同，模型的cost function可以通过极大似然估计这个角度切入，而前馈神经网络的cost function，笔者暂时还未深入了解，为何是如此设置。
而当有了cost function，则模型训练的目标变成最小化损失函数，变成了一个无约束优化问题。

BP算法(反向传播算法)

FNN参数的训练，可以使用反向传播算法，其基本思想是：1. 计算每一层的状态值和激活值，直至最后一层(前向传播)；2. 从最后一层开始，计算每一层的误差，不断地向前推进(反向传播)；3. 利用误差迭代参数，直至满足相应条件(达到迭代次数或误差得到满足)
以下图的3层前馈神经网络为例:

三层神经网络
假设该神经网络的cost function为：

前向传播

第二层神经元的状态值和激活值为：
$z_{1} ^{(2)} = \omega_{11} ^{(2)} x_1 + \omega_{12} ^{(2)} x_2 + \omega_{13} ^{(2)} x_3 + b_1 ^{(2)}$ $z_{2} ^{(2)} = \omega_{21} ^{(2)} x_1 + \omega_{22} ^{(2)} x_2 + \omega_{23} ^{(2)} x_3 + b_2 ^{(2)}$ $z_{3} ^{(2)} = \omega_{31} ^{(2)} x_1 + \omega_{32} ^{(2)} x_2 + \omega_{33} ^{(2)} x_3 + b_3^{(2)}$ $a_{1} ^{(2)} = f(z_{1} ^{(2)})$ $a_{2} ^{(2)} = f(z_{2} ^{(2)})$ $a_{3} ^{(2)} = f(z_{3} ^{(2)})$
而第三层神经元的状态值和激活值则为：
$z_{1} ^{(3)} = \omega_{11} ^{(3)} a_1 ^{(2)}+ \omega_{12} ^{(3)} a_2 ^{(2)} + \omega_{13} ^{(3)} a_3 ^{(2)} + b_1 ^{(3)}$ $z_{2} ^{(3)} = \omega_{21} ^{(3)} a_1 ^{(2)}+ \omega_{22} ^{(3)} a_2 ^{(2)} + \omega_{23} ^{(3)} a_3 ^{(2)} + b_2 ^{(3)}$ $a_{1} ^{(3)} = f(z_{1} ^{(3)})$ $a_{2} ^{(3)} = f(z_{2} ^{(3)})$
如果若以矩阵形式来描述，则前向传播可以写成如下： $z^{(l)} = W^{(l)} a^{(l-1)} + b^{(l)}$ $a^{(l)} = f(z^{(l)})$

反向传播

对输出层参数进行更新

先对cost function进行扩展
$E=\frac {1} {2} {( (y_1 - a_1 ^{(3)})^2 + (y_2 - a_2 ^{(3)})^2) }$
$= \frac{1}{2}{( (y_1 - f(z_1^{(3)}))^2 + ( y_2 - f(z_2 ^{(3)}) )^2 )}$
$= \frac{1}{2}{( (y_1 - f(\omega_{11} ^{(3)} a_1 ^{(2)}+ \omega_{12} ^{(3)} a_2 ^{(2)} + \omega_{13} ^{(3)} a_3 ^{(2)} + b_1 ^{(3)}))^2 + ( y_2 - f(\omega_{21} ^{(3)} a_1 ^{(2)}+ \omega_{22} ^{(3)} a_2 ^{(2)} + \omega_{23} ^{(3)} a_3 ^{(2)} + b_2 ^{(3)}) )^2 )}$

因此，若对输出层的神经元求偏导，则有：
$\frac {\partial E} {\partial w_{11}^{(3)}} = -(y_1 - a_1 ^{(3)})*f^{'}(z_1 ^{(3)}) * a_1 ^{(2)}$ $\frac {\partial E} {\partial w_{12}^{(3)}} = -(y_1 - a_1 ^{(3)})*f^{'}(z_1 ^{(3)}) * a_2^{(2)}$ $\frac {\partial E} {\partial w_{13}^{(3)}} = -(y_1 - a_1 ^{(3)})*f^{'}(z_1 ^{(3)}) * a_3^{(2)}$ $\frac {\partial E} {\partial w_{21}^{(3)}} = -(y_2 - a_2 ^{(3)})*f^{'}(z_2 ^{(3)}) * a_1 ^{(2)}$ $\frac {\partial E} {\partial w_{22}^{(3)}} = -(y_2 - a_2 ^{(3)})*f^{'}(z_2 ^{(3)}) * a_2 ^{(2)}$ $\frac {\partial E} {\partial w_{23}^{(3)}} = -(y_2 - a_2 ^{(3)})*f^{'}(z_2 ^{(3)}) * a_{3} ^{(2)}$
若写成矩阵形式，则为：
$\frac {\partial E} {\partial W} = {\delta ^{(L)} * {a^{(L-1)}}^T}$
$\delta^{(L)} = -(y - a^{(3)}) .* f ^{'}(z^{(L)})$

对隐含层参数进行更新

继续对cost function进行进一步扩展
$E = \frac{1}{2}{( (y_1 - f(\omega_{11} ^{(3)} f(z_1 ^{(2)})+ \omega_{12} ^{(3)} f(z_2 ^{(2)}) + \omega_{13} ^{(3)} f(z_3 ^{(2)}) + b_1 ^{(3)}))^2 + ( y_2 - f(\omega_{21} ^{(3)} f(z_1 ^{(2)})+ \omega_{22} ^{(3)} f(z_2 ^{(2)}) + \omega_{23} ^{(3)} f(z_3 ^{(2)}) + b_2 ^{(3)}) )^2 )}$
对隐含层的神经元求偏导有：
${\partial E \over \partial w_{ij} ^{(l)} } = {\partial E \over \partial z_i ^{(l)} } {\partial z_i ^{(l)} \over \partial w_{ij} ^{(l)} }$
设 ${\partial E \over \partial z_i ^{(l)} } = \delta_i ^{(l)}$ ，则上式可写成： ${\partial E \over \partial w_{ij} ^{(l)} } = \delta_i ^{(l)} a_j ^{(l-1)}$ $\delta_i ^{(l)} = (\sum ^{} _{k \in E} {\delta_k ^{(l + 1)} \cdot w_{ki} ^{(l+1)}}) \cdot f^{'}(z_i ^{(l)})$
这里 $E$ 是指，与第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元连接的第 $l+1$ 层的神经元所组成的集合。由于上述的FNN各层之间是一种全连接方式，因此上述 $\delta_i ^{(l)}$ 写成矩阵形式为： $\delta ^{(l)} = ((W^{(l+1)})^T \delta ^{(l+1)}) .* f^{'}(z^{(l)})$ 而 ${\partial E \over \partial w_{ij} ^{(l)} }$ 写成矩阵形式则为： ${\partial E \over \partial W ^{(l)} } = \delta ^{(l)} \cdot ({a^{(l-1)})^T }$

BP算法总结

针对上述前馈神经网络，BP算法最后可以总结为四条公式：
$\delta^{(L)} = -(y - a^{(L)}) .* f^{'}( z^{(L)} )$ $\delta^{(l)} = ( (W^{(l+1)})^T \cdot (\delta^{(l+1)}) ) .* f ^{'}(z^{(l)})$ ${\partial E \over \partial W^{(l)}} = \delta^{(l)} \cdot (a^{(l-1)})^T$ ${\partial E \over \partial b^{(l)}} = \delta^{(l)}$
选用不同的cost funtion，最后公式的形式可能会有所不同，但整个BP算法的流程是一样的。使用BP算法训练的神经网络，也被称为BP神经网络。深度学习中很多网络都可以使用BP算法来进行参数训练。

简单例子

这里使用的是吴恩达在Coursera中machine learning的一个实验例子；在实验中，是通过搭建一个简单的神经网络，做到手写体数字识别的效果。

下图是实验中的神经网络结构，是一个三层的神经网络，其中输入层的神经元个数是400(实验所用的数据是20x20 piexl的灰度图)，隐含层的神经元个数是25，输出层的神经元个数是10(需要区分数字0-9)

网络结构
利用python实现上述网络的代码：

激活函数：

def sigmoid(x):
    
    return 1 / (1 + np.exp(-1 * x))

神经网络结构规格：

n0 = 400
n1 = 25
n2 = 10

BP算法：

def MinstNeuralNetwork(X, y, alpha=0.1, numIter=100):
    
    Xmat = np.mat(X)
    Ymat = np.mat(y)
    m, n = Xmat.shape
    
    #parameter initialize
    param_w1 = np.mat( np.random.random([n1, n0]) / 10 )
    param_w2 = np.mat( np.random.random([n2, n1]) / 10 )
    param_b1 = np.mat( np.random.random([n1, 1]) / 10 )
    param_b2 = np.mat( np.random.random([n2, 1]) / 10 )

    for i in range(numIter):
        
        for j in range(m):
            
            #forward
            z1 = param_w1 * Xmat[j, :].T + param_b1
            a1 = sigmoid(z1)
            
            z2 = param_w2 * a1 + param_b2
            a2 = sigmoid(z2)
            
            #backward
            nextItParam_w1 = param_w1
            nextItParam_w2 = param_w2
            nextItParam_b1 = param_b1
            nextItParam_b2 = param_b2
            
            delta2 = np.mat( -(Ymat[j, :].T - a2).A * sigmoid(z2).A * (1 - sigmoid(z2)).A )
            dw2 = delta2 * a1.T
            nextItParam_w2 = param_w2 - alpha * dw2
            
            delta1 = np.mat( (param_w2.T * delta2).A * sigmoid(z1).A * (1 - sigmoid(z1).A) )
            dw1 = delta1 * Xmat[j, :]
            nextItParam_w1 = param_w1 - alpha * dw1
            
            nextItParam_b1 = param_b1 - alpha * delta1
            nextItParam_b2 = param_b2 - alpha * delta2
            
            #update new parameter
            param_w1 = nextItParam_w1
            param_w2 = nextItParam_w2
            param_b1 = nextItParam_b1
            param_b2 = nextItParam_b2
            
    return param_w1, param_w2, param_b1, param_b2

最后网络在数据集上训练了300次，在训练集上的准确率达到了96%，与在Coursera里的实验相比，上述该例子的实现中并没有进行正则化，并且在训练次数较多；上述仅用最简的方法实现BP算法，较为粗糙。

总结

前馈神经网络是最为简单的神经网络结构，是神经网络中的基础知识。当隐含层层数增加时，神经网络则可称之为深度网络。上述也对训练神经网络的BP算法做了简单介绍，也进行了较为粗略地实现。

前馈神经网络

前馈神经网络

前馈神经网络的损失函数

BP算法(反向传播算法)

前向传播

反向传播

对输出层参数进行更新

对隐含层参数进行更新

BP算法总结

简单例子

总结

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