空间计量经济学笔记

作者: 地平线上的背影 | 来源:发表于2019-06-06 08:45 被阅读0次

空间计量经济学笔记

[TOC]

1.经典线性模型

1.回归模型

1.做回归模型: _ny₁ = _nX_k _kβ₁ + _ne₁
2.OLS估计量为: $\hat{\beta}_{OLS} = (X^TX)^{-1} X^T y$
3.ML或OLS估计的方差为: $\hat{\sigma}_{e}^2 = \frac{e^Te}{n}$
4.ML估计量, MM估计量和OLS估计量在残差正态性假定下是一致的

2.参数检验

1.检验量: $\frac{\hat{\beta}_i}{s_\epsilon \sqrt{S^{ii}}} \; \tilde{} \; t_{n-k}$ , 其中 $s_\epsilon = \sqrt{\frac{e^Te}{n-k}}$ , $S^{ii} 为矩阵 X^TX$ 对角线元素
2.注: 用该检验量检验 β值时, $e = y - X\hat{\beta}$ ,但是 $\epsilon = y - X \beta$

3.拟合优度

1.调整 R² : $\overline{R^2} = 1-\frac{n-1}{n-k-1}(1-R^2)$
2.赤池信息准则: $AIC = \ln(\frac{e^Te}{n}) + \frac{2k}{n}$
3.施瓦茨信息准则: $BIC = \ln(\frac{e^Te}{n}) + \frac{k\ln(n)}{n}$

4.似然比或Wald检验

1.表达式
- 1.表达式一: $LR \approx W = n(\theta_0 - \hat{\theta})^2i(\theta_0)$ , 其中 i(θ₀)
- 2.表达式二: $LR \approx LM = \frac{l'(\theta_0)^2}{ni(\theta_0)}$
2.注释
- 1. $\;\theta_0$ 表示参数向量, 以LR统计量检验整个参数向量
- 2.LR, W 和 LM三者均渐进等价并服从自由度为估计参数值的卡方分布

5.残差正态性检验

1.J-B检验量: 通过联合检验残差的经验分布与高斯分布的三阶矩和四阶矩构建正态性检验

$JB = \frac{n}{6}\times[SK^2 + \frac{(k-3)^2}{4}]$
2.注释:
- 1. $\; SK = \frac{\sqrt{n}\sum_{i=1}^n(e_i-\overline{e})^3} {\sqrt[3/2]{\sum_{i=1}^n(e_i - \overline{e})^2}}$
- 2. $\; K = \frac{ n\sum_{i=1}^n(e_i - \overline{e})^4 }{[ \sum_{i=1}^2 (e_i -\overline{e})^2 ]^2}$
- 3.JB统计量服从自由度为2的卡方分布

6.非球面扰动项

1.球面扰动项假定:
- 1.方差-协方差矩阵对角线均为常数(同质性)
- 2.方差-协方差矩阵非对角线均为零(不存在自相关)
- 3.但是, 空间观察单位通常不具备以上两点, 而此时OLS不是最优
2.同质性检验:
- 1.LM统计检验量:
  - 1. $\; BP= \frac{1}{2}[g^Tg]$ , 其中 $g_i = \left. e_i^2\right/ (\frac{e^Te}{n}-1)$
  - 2.该统计量服从 k-1 的卡方分布
- 2.怀特检验: $WH = nR^2$ , 服从自由度为 k-1 的卡方分布
- 3.BP检验和WH检验前均需验证残差独立性
3.自相关性检验: 采用德宾-沃森统计检验(第二章)
4.误差非球面项时的GLS估计:
- 1. $E(\epsilon\times\epsilon^T) = \sigma_{\epsilon}^2\Omega$
- 2. $\Omega = PP^T \Rightarrow P^{-1} = P^T\Omega^{-1}$
- 3.估计方程变为: $P^{-1}y = P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon$ , $\hat{\beta}_{GLS} = X^{-1}y$ , $s_\epsilon^2 = \frac{y-(X\beta^*)^T}{n-k} \times \Omega^{-1}y$

7.内生性

1.内生性假定: 即回归项与扰动项 $\epsilon$ 不相关, 常源于遗漏变量等
2.存在内生性的二阶最小二乘估计:
- 1.假定工具变量H(与误差项不相关), 并做回归 $X= H\gamma + \eta \Rightarrow \hat{X} = H\hat{\gamma}$
- 2.做回归 $y = \hat{X}\beta + \epsilon \\ \Rightarrow \hat{\beta}_{2SLS} = (H^TX)H^Ty ,\\\;\;\; \;Var(\hat{\beta}_{2SLS}) = \sigma_\epsilon^2X^TH(H^TZ)^{-1}$

2.一些重要的空间定义

1.空间权重矩阵和空间滞后

1.空间权重矩阵: 以0或1表示行列元素是否临近的矩阵
2.空间滞后值: $L(y_i) = \left. \sum_{j \in N(i)}y_i \right/\#N(i)$ , 其中 #N(i) 是N的元素个数

2.检验OLS残差的自相关性----莫兰I检验

1.莫兰I统计量为: $I = \left. ne^TWe \right/ e^Te(\sum_i\sum_jw_{ij})$
2.当权重矩阵为行标准矩阵时, $I = \left. e^TWe \right/e^Te$
3.该统计量服从渐进正态分布

3.空间线性回归模型

空间线性模型可以表示为:

$y = \lambda W y + X\beta_{(1)} + WX\beta_{(2)} + u$
$u = \rho Wu + \epsilon$

1.纯空间自回归模型

1.当β = 0 以及 λ = 0 或者ρ = 0时, 该模型简化为纯空间自回归模型
- 1.β = 0, 所以 $y = \lambda Wy + u$
- 2.对λ或ρ等于零:
  - λ = 0则 $y = u$ , $u = \rho Wy + \epsilon$ , 所以 $y = \rho Wy + \epsilon$
  - $\rho = 0$ 则 $u = \epsilon$ , 所以 $y = \lambda Wy + \epsilon$
2.参数估计: 采用最大似然(ML)法
- 1.做变形得到: $(I- \rho W)y = \epsilon$ , 即 $y = (I-\rho W)^{-1}\epsilon$
- 2.可知: $E(y) = 0 \quad E(yy^T) = \sigma_{\epsilon}^2\Omega$
- 3.以正态分布构建概率密度函数并求似然得到:
  
  $L(\rho, \sigma_{\epsilon}^2) = const \times\sigma_{\epsilon}^2\\|(I-\rho W)^{-1}(I-\rho W)^{-T}|\times \\exp[-\frac{1}{2\epsilon_{\epsilon}^2} y^T [(I-\rho W)^{-1}\\(I-\rho W)^{-T}]^{-1}y]$
- 4.对上式求最值得到 ρ 或 λ 的值

2.带有非随机空间滞后回归量的经典模型

1.当 λ = ρ = 0 时, 该模型为含非随机空间滞后回归量的经典模型
2.模型: $y = \beta_1 X +\beta_2 WX + \epsilon$
3.该模型下可直接使用OLS方法进行简单估计

3.空间误差模型(SEM)

1.当 λ = 0, $\rho \neq 0$ 时, 该模型为空间误差模型
2.模型:
- 1. $\lambda = 0$ 推出 $y = Z\beta + u$
- 2. $\rho \neq 0$ 推出 $u = \rho Wu + \epsilon$ , 所以 $u = (I - \rho W)^{-1} \epsilon$
3.可知: $E(u) = 0, \;\;E(uu^T) = \sigma_{\epsilon}^2\Omega$ , 其中 $\Omega = (I-\rho W)^{-1}(I-\rho W)^{-T}$
4.似然函数方式求解:
- 1.构建似然函数: $L(\rho , \sigma_{\epsilon}^2, \beta) = const\times \sigma_{\epsilon}^2\\|(I-\rho W)^{-1}(I-\rho W)^{-T}|^{-\frac{1}{2}} \\ \times exp[-\frac{1}{2\sigma_{\epsilon}^2} (y-Z \beta)^T \Omega^{-1}\\ \times (y-Z \beta)]$
- 2.对上式求最值(以数值最大化分析方式)得出 β 和 ρ 的值
5.以可行广义最小二乘法求解:
- 1.以方程: $y = Z \beta+u$ 得到 β 的一致估计 $\tilde{\beta}$
- 2.以方程: $\hat{u} = y - Z \tilde{\beta}$ 得到残差的估计 $\hat{u}$
- 3.附加GMM方法:
  - 1.E(ε⁴) < 正无穷且矩阵 W与 (I-ρW)^-1绝对可加
  - 2.Q_Z, Q₁, Q₂是非奇异矩阵, 且 Q_Z = limZ^TZ, Q₁ = limZ^TΩZ, Q₂ = limZ^TΩ^-1Z
  - 3.定义: $\hat{\overline{u}}_i = \rho \sum_{i = 1}^nw_{ij}\hat{u}_j + \epsilon_i$ , $\hat{\overline{\overline{u}}}_i = \sum_{i = 1}^nw_{ij}\hat{\overline{u}}_j$
    
    所以有: $\hat{u}_i - \rho \hat{\overline{u}} _i= \epsilon_i$ , $\hat{\overline{u}}_i - \rho \hat{\overline{\overline{u}}}_i = \overline{\epsilon}$ ,
    
    $\begin{cases} \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n(\hat{u_i} - \rho \hat{\overline{u}}_i)^2 = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \epsilon^2 = E(\epsilon^2) = \sigma_{\epsilon}^2 \\ \\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (\hat{\overline{u}_i}- \rho \hat{\overline{\overline{u}}}_i) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n \overline{\epsilon} = E(\overline{\epsilon}) = \sigma_{\epsilon}^2tr\frac{W^TW}{n}\\ \\ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\hat{u}_i-\rho \hat{\overline{u}}_i)(\hat{\overline{u}}_i-\hat{\overline{\overline{u}}}_i) = E(\epsilon \overline{\epsilon }) = 0 \end{cases}$
- 4.解上述方程得: $\hat{ρ}$ 和 $\hat{σ_{\epsilon}^2}$
- 5.以方程: $\hat{\Omega} = (I-\hat{\rho}W)^{-1}(I-\hat{\rho}W^T)^{-1}$ 计算Ω的估计值
- 6.最后通过GLS估计参数得: $\hat{\beta}_{FGLS} = (Z^T\hat{\Omega}^{-1}Z)^{-1}Z^T\hat{\Omega}^{-1}y$

4.空间滞后模型

1.当 $\lambda \neq 0, \;\;\rho \neq 0$ 时, 该模型变为: $y = \lambda Wy + Z\beta +u$
2.模型估计如下:
- 1.极大似然估计:
  - 1. $y = (I-\lambda W)^{-1}(Z\beta+u)$ , 所以:
    
    $E(y) = (I-\lambda W)^{-1}Z\beta$ , $\;\;E(yy^T) = \sigma_{\epsilon}^2 \Omega$
  - 2.得出似然函数: $L(\sigma^2,\lambda,\beta;y) = const|\sigma_{\epsilon}^2\Omega|^{-\frac{1}{2}}exp[-\frac{1}{2\sigma_{\epsilon}^2} \\ [y - (I-\lambda W)^{-1}Z\beta]^T\times \Omega^{-1} \\ [y-(I-\lambda W)^{-1}Z\beta]]$
  - 3.以该似然函数求最值得: λ, σ 和 β
- 2.两阶段最小二乘法:
  - 1.设工具变量: _nH_3k = [_nZ_k, _nW_n _nZ_k, _nW_n² _nZ_k]
  - 2.自变量M对工具变量H回归: $M = H\gamma + \eta$ , 其中 η 为误差项, $\sideset{_n}{_{k+1}}M = [\sideset{_n}{_n}W \sideset{_n}{_1}y, \;\sideset{_n}{_k}Z ]$ , 得出估计值为: $\hat{\gamma} = (H^TH)^{-1}H^TM$
  - 3.计算M的估计值: $\hat{M} = H\hat{\gamma}$ , 并计算方程: $y = \hat{M}\theta + u$ , 得: $\hat{\theta}_{2SLS} = (\hat{M}^T\hat{M})^{-1}\hat{M}^{-1}y$ , 其中 $\sideset{ _{k+1}}{_1} \theta = [\lambda, \;\sideset{_k}{_1}\beta]$ (k+1行1列)

5.一般SARAR(1,1)模型

1.若 β = 0 则该模型变为一般SARAR(1,1)模型
2.模型: 若 β = 0 则 $y = \lambda Wy + u$ , $u = \rho Wu + \epsilon$
3.使用ML方法估计参数:
- 1.考虑完整模型: $y = Z\beta + \lambda Wy + u$ , $u = \rho Wu +\epsilon$ ;
- 2.得: $E(I-\lambda W)^{-1}Z\beta$ , $E(yy^T) = \sigma_{\epsilon}^2\Omega$
- 3.计算似然函数为: $L(\sigma^2, \rho, \lambda, \beta; y) = const\times (\sigma_{\epsilon}^2)^{-\frac{n}{2}}|I-\lambda W||I-\rho W| \\\times exp[-\frac{1}{2\sigma_{\epsilon}^2}[y-(I-\rho W)^{-1}Z\beta]^T \\ \times \Omega^{-1}[y-(I-\rho W)^{-1}Z\beta ]]$
- 4.对该式以数值化的方式计算求最值得 λ 和 ρ 值, 但是尚不能证明上式具有大样本最优ML统计量性质, 因而一般推荐GS2SLS
4.使用广义空间两阶段最小二乘法:
- 1.利用工具变量 Z 和 WZ 以2SLS方式估计方程: $y = Z\beta +\lambda Wy + u \\\;\;= |WZ, Z|\times |\beta, \lambda|^T + u$ 得到 $\tilde{\beta}$ 和 $\tilde{\lambda}$
- 2.以方程: $\hat{u} = y-Z\tilde{\beta} - \tilde{\lambda} WY$ , 并定义 $\hat{\overline{u}}_i = W\hat{u}_i$ , $\hat{\overline{\overline{u}}}_i = W^2 \hat{\overline{u}}_i$
- 3.以广义矩方法确定 ρ 的一致估计:
  
  $\begin{cases} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\hat{u}_i - \rho \hat{\overline{u}}_i)^2 = \sigma_{\epsilon}^2 \\ \\ \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n(\hat{\overline{u}}_i - \hat{\overline{\overline{u}}}_i )^2 = \sigma_{\epsilon}^2 \times\frac{W^TW}{n}\\ \\ \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n(\hat{u}_i - \rho \hat{\overline{u}}_i) (\hat{\overline{u}}_i - \hat{\overline{\overline{u}}}_i) = 0 \end{cases}$
- 4.使用 ρ 的一致估计将原模型转为: $(I-\hat{\rho} W)y = (I-\hat{\rho}W)(Z\beta - \lambda Wy) + \varepsilon$
- 5.使用2SLS估计方程中的 β 和 λ 得: $\tilde{\delta}_{GS2SLS} = [\hat{Q}^{*T}Q]\hat{Q}^{*T} y^*$ , 其中 $\;\delta = [\beta , \lambda]$ , $\;\;Q = [Z, Wy]$ , $\;\;Q^* = (I-\tilde{\rho}W)Q$ , $\;\;\hat{Q}^* = H(H^TH)^{-1}H^TQ^*$ .
- 6.注: GS2SLS是一致的, 但不是完全渐进有效的
5.使用Lee估计:
- 1. $\overline{Q}^* = (I-\tilde{\rho}W)[Z, \; W(I-\tilde{\lambda}W)^{-1}Z\tilde{\beta}]$
- 2. $\; \tilde{\delta}_{BFGS2SLS} = [\overline{Q}^{*T}Q^*]^{-1}\overline{Q}^{*T}y^*$ , 其中 $\delta = [\beta,\lambda]$ .

6.在明确的备择假设下检验残差中的自相关

1.使用SEM或SLM作为备择假设检验残差的空间自相关
- 1.拉格朗日乘数检验的一般形式: $LM = s(\theta_0)^TI(\theta_0)^{-1}s(\theta_0)$ , 其中 $s(\theta_0) = \frac{\part{L(\theta)}}{\part{\theta}}$ , $I(\theta_0) = E(\frac{\part^2{L(\theta)}}{\part{\theta\part\theta^T}})$
- 2.当备择假设为空间误差模型时:
  - $LM_{SEM} = \frac{n^2}{tr(W^TW+WW)}[\frac{\hat{\varepsilon}^TW\hat{\varepsilon}}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}}]^2$
- 3.当备择假设为空间滞后模型时:
  - $LM_{LAG} = \frac{n^2}{Q}[\frac{\hat{\varepsilon}^TWy}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}}]^2$ , 其中 $Q = (WX\hat{\beta})^T(I - M_x)\frac{WX\hat{\beta}}{\hat{\sigma}_{\epsilon}^2} + T$ , $\; M_x = X(X^TX)X^T$ , $\;\; T = tr(W^TW+WW)$
- 4.以上两检验的稳健形式:
  - 1. $RLM_{SEM} = \frac{1}{T(1-TQ)}[\frac{n\hat{\varepsilon}^TW\hat{\varepsilon}}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}}-TQ^{-1}\frac{n\hat{\varepsilon}^TWy}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}}]^2$
  - 2. $RLM_{LAG} = \frac{1}{Q-T}[\frac{n\hat{\varepsilon}^TW\hat{\varepsilon}}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}} - \frac{n\hat{\varepsilon}^TWy}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}}]^2$
2.使用空间模型作为备择假设检验残差的空间自相关: 修正的莫兰检验
- 1.空间模型下修正莫兰统计量: $\overline{I} = \frac{n\hat{\varepsilon}^TW\hat{\varepsilon}}{\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon}\{ tr[(W^T +W )W] \}^{-\frac{1}{2}}}$
- 2.SARAR(1,1)下修正莫兰统计量: $\overline{I} = \frac{\hat{\varepsilon}^TW\hat{\varepsilon}}{n^{-2}(\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon})^2\{ tr[(W^T +W )W] \;+ \; (n^{-1}\hat{\varepsilon}^T\hat{\varepsilon} ) \hat{c}^T\hat{c} \}^{-\frac{1}{2}}}$ ,其中 $\; c = -H\hat{P}\hat{\alpha}$ , $\hat{P} = (\frac{H^TH}{n})^{-1} \frac{H^T\hat{Q}^*}{n} (\frac{ \hat{Q}^{*T}\hat{Q}^* }{n})^{-1}$ , $\hat{\alpha} = \frac{ \hat{Q}^{*T}(W+W^T)\hat{\varepsilon} } {n}$
- 3.修正莫兰 $I$ 统计量满足渐进正态分布

7.空间计量模型中的参数解释

$E(y) = (I-\lambda W)^{-1}X\beta$ , 得出 $\frac{\part E(y)}{\part X} = S = \begin{bmatrix} \frac{\part E(y_1)}{\part X_1} & \cdots & \frac{\part E(y_i)}{\part X_n} \\ \cdots & \cdots &\cdots \\ \frac{\part E(y_n)}{\part X_1} & \cdots & \frac{\part E(y_n)}{\part X_n} \\ \end{bmatrix}$

1.平均直接影响: 衡量每个观测单位 X_i 对 y_i 的平均总影响, 表达式为 $ADI = n^{-1} \sum_{i = 1}^n \frac{\part E(y_i)}{\part X_i}$
2.平均总影响: 衡量所有其他单位对单个单位的影响, 表达式为 $ATIT_j = n^{-1}\sum_{i=1}^n \frac{ \part E(y_i)}{\part X_j}$
3.单个单位的平均总影响: 衡量某个观测单位对所有其他观测单位的影响, 表达式 $ATIF_i = n^{-1} \sum_{i=1}^n \frac{\part E(y_i)}{\part X_j}$
4.平均影响: 矩阵S所有元素的平均值, 表达式 $ATI = n^{-1} \sum_{j=1}^n ATIT_j = n^{-1}\sum_{j = 1}^n ATIF_j$

空间计量经济学笔记

空间计量经济学笔记

1.经典线性模型

1.回归模型

2.参数检验

3.拟合优度

4.似然比或Wald检验

5.残差正态性检验

6.非球面扰动项

7.内生性

2.一些重要的空间定义

1.空间权重矩阵和空间滞后

2.检验OLS残差的自相关性----莫兰I检验

3.空间线性回归模型

1.纯空间自回归模型

2.带有非随机空间滞后回归量的经典模型

3.空间误差模型(SEM)

4.空间滞后模型

5.一般SARAR(1,1)模型

6.在明确的备择假设下检验残差中的自相关

7.空间计量模型中的参数解释

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