微分形式和外乘积

抽空看了看经典力学的数学方法，关于哈密顿力学的内容，发现之前一直无法理解的微分形式，似乎有一点理解了。
微分形式本质上是一个特殊的函数，1形式就像泛函一样，对应于一个向量，获得一个数值，向量的数量积视为函数就是一个1形式，2形式就是双线性函数，对应于两个向量，获得一个数值，自然的可以认为两向量构成的有向面积就是2形式，类似的k形式也就可以定义出来了。微分形式和函数的关键区别在于完全反对称性，或者称其为斜对称，交换两个向量的位置，获得的结果差一个负号。
微分形式的乘积，就是所谓的外乘积，这个可以理解为函数的组合，两个1形式的乘积，就可以认为分别作用然后数值相乘，不过还要满足基不重复，因为斜对称性，重复的话结果就是0，通过线性扩张就可以获得一般的微分形式的乘积规律。行列式就是一个有向体积，是一个数值，所以也是一个重要的微分形式。其实，高于1次的微分形式估计都可以写成行列式的形式。毕竟外乘积需要根据序列的奇偶性来分配正负号，行列式的计算本身也是如此进行的。
如果类比的话，泛函能不能也相乘呢？获得的是什么东西呢？有界线性泛函，好像也是可以的，叫做什么巴拿赫代数，那么巴拿赫代数似乎就容易理解了。好像不太一样，乘积的定义是有区别的，不是斜对称的。这个乘积是怎么定义的，是逐点的，还是按照基来的，还是按照斜对称来的，逐点的性质就不太好，按照基来的，就是张量积，按照斜对称来的，就是外乘积。张量代数看来也是线性代数中非常基础的内容。
为什么之前不理解呢？关于这一块看了不下四五遍了，估计是符号太多的关系，推导过程非常繁琐，在微分几何书中这一块占了很大篇幅，可是很难看明白。可能是看代数有所启发，通过基，对偶向量，泛函的角度，就能抓住本质。