多元一次联立方程式（A system of linear equations）

$2x_1+3x_2+4x_3=5$

这是一个多元方程式，其中 $x_1,x_2,x_3$ 为变量（variables），相对应的 2,3,4 为系数（coefficients），结果 5 为常数项（constant term）。如果我们将多个多元方程式写到一起，就叫作多元联立方程式：
$\begin{cases}2x_1+3x_2+4x_3=5\\ 3x_1+1x_2-1x_3=5\\ -2x_1+1x_2+1x_3=5\\ \end{cases}$

我们可以用更通用的写法表示：
$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m\\ \end{cases}$

其中，有 $m$ 个方程式和对应的 $m$ 个结果（ $b_1,\cdots,b_m$ ），每个方程式中有 $n$ 个变量（ $x_1,\cdots,x_n$ ）和其对应的 $n$ 个系数，每个方程式的变量相同但系数不同。

术语（Terminology）

定义域（Domain）
给定一个函数 f，所有 f 可能的输入的集合就叫做定义域
对应域（Co-domain）
所有函数 f 可能的输出的集合就叫做对应域
值域（Range）
所有函数 f 真正可以输出的集合就叫做值域，值域是对应域的子集。

举个例子， $y=x^2$ 的定义域为所有的实数，对应域为所有实数，值域为 0 及正数。

一对一（One to one）

定义域和对应域各自只有一个值互相对应，所以定义域和对应域是一样大的。

映射（Onto）

定义域有多个值与对应域对应，所以对应域是和值域一样大的。

线性系统（Linear System）

线性系统特征：

Persevering Multiplication
如果一个线性系统输入为 $x$ ，输出为 $y$ ，那么 $k\cdot x=k\cdot y$

Persevering Addition
如果一个线性系统输入为 $x_1$ ，输出为 $y_1$ ，另一个输入为 $x_2$ ，输出为 $y_2$ 。那么输入 $x_1+x_2$ ，输出为 $y_1+y_2$

微分和积分也是线性的：

Derivative
表示一个函数，输入是另一个函数，而输出是输入函数的导数，假设输入 $f=x^2$ ，那么输出 $f'=2x$

Integral
假设输入是 $x^2$ ，那么输出是 $\frac{1}{3}(b^3-a^3)$ ，输出代表输入函数 $f$ 的函数曲线上点 $a$ 到点 $b$ 的面积之和。

线性系统和线性方程组

通常线性系统的输入是一个 $n$ 维的向量，输出是一个 $m$ 维的向量，我们可以把一个线性系统写成一个线性方程组。如图，我们把变量 $x$ 当做是线性系统的输入，把常数项 $b$ 当做线性系统的输出，可以发现，把输入 $x$ 乘以 $k$ 倍，输出也会增加 $k$ 倍。同理把 $x$ 增加 $x$ ，输出等于两个 $x$ 的输出之和，所以可以得出，一个线性方程组就是一个线性系统，一个线性系统一定有其对应的线性方程组。