多元一次联立方程式（A system of linear equations）
这是一个多元方程式，其中 为变量（variables），相对应的 2,3,4 为系数（coefficients），结果 5 为常数项（constant term）。如果我们将多个多元方程式写到一起，就叫作多元联立方程式：
我们可以用更通用的写法表示：
其中，有 个方程式和对应的
个结果（
），每个方程式中有
个变量（
）和其对应的
个系数，每个方程式的变量相同但系数不同。
术语（Terminology）
-
定义域（Domain）
给定一个函数 f，所有 f 可能的输入的集合就叫做定义域 -
对应域（Co-domain）
所有函数 f 可能的输出的集合就叫做对应域 -
值域（Range）
所有函数 f 真正可以输出的集合就叫做值域，值域是对应域的子集。
举个例子， 的定义域为所有的实数，对应域为所有实数，值域为 0 及正数。
- 一对一（One to one）
定义域和对应域各自只有一个值互相对应，所以定义域和对应域是一样大的。
- 映射（Onto）
定义域有多个值与对应域对应，所以对应域是和值域一样大的。
线性系统（Linear System）
线性系统特征：
- Persevering Multiplication
如果一个线性系统输入为，输出为
，那么
- Persevering Addition
如果一个线性系统输入为，输出为
，另一个输入为
，输出为
。那么输入
，输出为
微分和积分也是线性的：
- Derivative
表示一个函数，输入是另一个函数，而输出是输入函数的导数，假设输入，那么输出
- Integral
假设输入是，那么输出是
，输出代表输入函数
的函数曲线上点
到点
的面积之和。
线性系统和线性方程组
通常线性系统的输入是一个 维的向量，输出是一个
维的向量，我们可以把一个线性系统写成一个线性方程组。如图，我们把变量
当做是线性系统的输入，把常数项
当做线性系统的输出，可以发现，把输入
乘以
倍，输出也会增加
倍。同理把
增加
，输出等于两个
的输出之和，所以可以得出，一个线性方程组就是一个线性系统，一个线性系统一定有其对应的线性方程组。
假设我们有一个线性系统，我们向其输入一个 维的向量，其中只有
，其他值都为 0，
，输入
次。
将每个向量都乘以一个变量
再将所有输入的向量相加并输入到线性系统，此时线性系统的结果等于所有线性系统输出之和。
参考
https://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1208956807
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