线性代数-行列式

【义】1.3 由自然数1， 2， …， n组成的不重复的有确定次序的排列， 称为一个n级全排列（ 简称为n级排列）
【义】1.4 在一个n级排列（ j1 j2 …jt …js …jn ） 中， 若数jt ＞js ， 则称数jt 与js 构成一个逆序． 一个n级排列中逆序的总数称为该排列的逆序数， 记为τ（ j1 j2 …jn ）
【义】1.5 逆序数为奇数的排列称为奇排列， 逆序数为偶数的排列称为偶排列．
【理】1.1 任意一个排列经过一次对换后， 改变其奇偶性

n阶行列式展开式.png

行列式的性质

【性】1 行列式与它的转置列式相等， 即D＝DT
【性】2 互换行列式的两行（列）， 行列式改变符号．

证明

【推】1.3 如果行列式有两行（ 列） 相对应的元素相等， 则此行列式等于零．
　　　=> 交换相等的这两行，则行列式改变符号，D=-D，又因为D=D，所以D=0
【性】3 行列式的某一行（ 列） 中所有元素都乘以同一数k， 等于用数k乘以此行列式
【推】1.4 行列式中某一行（ 列） 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．
【推】1.5 行列式中如果有两行（ 列） 元素对应成比例， 则此行列式等于零．
　　　=> 提出这一行的k，则成比例的两行相等，所以行列式等于0
【性】5 把行列式的某一行（列） 的元素乘以同一数k， 然后加到另一行（ 列） 对应的元素上去， 行列式的值不变

行列式按行（列）展开

【义】1.9 在n阶行列式D中， 去掉元素aij 所在的第i行和第j列后， 余下的元素按原来的次序构成的n－1阶行列式， 称为D中元素aij 的余子式， 记为Mij ， 再记

代数余子式

称Aij 为元素aij 的代数余子式
【引】设n阶行列式D中的第i行元素除aij 外全部为零， 则这行列式等于aij 与它的代数余子式的乘积
【理】1.3 行列式D等于它的任一行（ 列） 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和

【推】1.6 行列式D中任一行（ 列） 的元素与另一行（ 列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

行列式的应用

【理】1.4 如果线性方程组（ 1.8） 的系数行列式D≠0， 则方程组（ 1.8） 有唯一解

克拉默法则

其中， Dj （ j＝1， 2， …， n） 是把系数行列式D中第j列元素a1j ， a2j ， …， anj 对应地换为方程组右端常数项b1 ， b2 ， …， bn 后得到的n阶行列式
【理】1.5 如果齐次线性方程组（ 1.9） 的系数行列式D≠0， 则齐次线性方程组（ 1.9） 只有唯一的零解．
【推】1.7 如果齐次线性方程组（ 1.9） 有非零解， 则齐次线性方程组（ 1.9） 的系数行列式必为零

矩阵的秩

【义】2.16 设A是m×n矩阵， 则从A中选定k行k列（1≤k≤min（m， n）） ， 位于这些行和列交叉处的k2 个元素按原来的相对位置组成一个k阶行列式， 称为矩阵A的k阶子式
【义】2.17 设A矩阵的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩， 记为r（A）

1. 约定零矩阵的秩为0
2. A是m×n矩阵， 则r（A） ≤m， r（A） ≤n
3. 若r（A）= r的充分必要条件是矩阵A至少有一个r阶子式不等于0， 而所有r＋1阶子式（如果存在） 全为0
4. 当r（A）＝ n时， 则∣A∣≠0

【理】2.4 初等变换不改变矩阵的秩
下面给出矩阵秩的一些性质：

1. r（ AT ） ＝r（ A）
2. 若A≅B， 则r（A）＝r（ B）
3. 若A可逆， 则r（AB）＝r（BA） ＝r（B）
4. r（A＋B） ≤r（A） ＋r（B）
5. A是m×n矩阵， B是n×s矩阵， 则r（A）＋r（B）－n ≤ r（AB） ≤min（r（A）， r（B））