【泊松分布】

从二项分布到泊松分布

二项分布概率公式：

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泊松分布需要做以下假定：

1. 一个事件在一段时间或空间内发生的平均次数或数学期望为λ。
2. 将这段时间或空间分成n等份，在每一等份的时间或空间内，这个事件发生的概率为λ/n，当n很大时，λ/n很小，即在这段内，要发生两次或者更多次事件是不可能的。因此在这段时间内不发生该事件的概率表示为1-λ/n。
3. 在n个等份中，每个等份是否发生该事件是独立的；

根据以上条件，在这段时间内，该事件发生k次的概率服从二项分布，可以得到概率表示如下：

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所以，有：

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从上式可知，泊松分布是关于数学期望或平均次数(lambda)的函数，随着lambda的不同，概率密度图也不同。泊松分布概率密度图如下：

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泊松分布概率累计图：

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我的理解，如果知道事件某段时间内发生次数的期望（均值），那么围绕着该均值，就可以知道任意时间段内发生次数的概率分布。

比如90分钟内平均进球数为3个：

1. 以分钟为粒度：每分钟平均进球数（期望）为3/90个，假设每分钟不可能发生超过一次进球（泊松分布的假设条件），那么一分钟之内只可能进球或者不进球，所以可以把一分钟是否进球可以看做是一次独立事件，根据二项分布的期望计算公式，E=np，这里E=3/90，n=1，所以P=3/90，1-P=87/90。这样，计算90分钟内进x个球的概率，可以类比为二项分布抛硬币的过程——90次的独立事件中发生了x次。
2. 以秒为粒度：每秒钟平均进球数为（期望）为3/5400个，假设每秒钟不可能发生超过一次进球（泊松分布的假设条件），那么一秒钟之内只可能进球或者不进球，所以可以把一秒钟是否进球可以看做是一次独立事件，根据二项分布的期望计算公式，E=np，这里E=3/5400，n=1，所以有P=3/5400，1-P=87/5400。这样，计算90分钟内进x个球的概率，可以类比为二项分布抛硬币的过程——5400次的独立事件中发生了x次。

在期望一定的情况下，缩小粒度（缩小p）相当于增大了n，在n比较大的时候二项分布不好计算，且此时p比较小，正好可以用泊松分布来替代（近似）二项分布，来估计事件发生任意次数时的概率。

从泊松分布到正态分布

借用维基百科的一个图，当λ=10的时候，泊松分布是不是看起很对称，有点像正态分布？

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其实可以证明，当发生次数k比较大的时候，泊松分布会变成均值为λ，方差为λ的正态分布：

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说明泊松分布只适用于发生次数k较少的情况。

附

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