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【数学建模算法】(番外5)与排队论有关的LINGO函数

【数学建模算法】(番外5)与排队论有关的LINGO函数

作者: 热爱学习的高老板 | 来源:发表于2019-08-17 14:27 被阅读0次

1.@peb(load,s)

该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系统繁忙的概率,也就是顾客等待的概率。

2.@pel(load,S)

该函数的返回值是当到达负荷为 load,服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时系统损失概率,也就是顾客得不到服务离开的概率。

3.@pfs(load,S,K)

该函数的返回值是当到达负荷为 load,顾客数为 K,平行服务台数量为 S 时,有限源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。

具体用法将在下面举例说明:

某修理店只有一个修理工,来修理的顾客到达过程为 Poisson 流,平均 4 人/h;修理时间服从负指数分布,平均需要 6min。试求:
(1)修理店空闲的概率;
(2)店内恰有 3 个顾客的概率;
(3)店内至少有 1 个顾客的概率;
(4)在店内的平均顾客数;
(5)每位顾客在店内的平均逗留时间;
(6)等待服务的平均顾客数;
(7)每位顾客平均等待服务时间;
(8)顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。

本例可看成一个M / M / 1 / \infty排队问题,其中
\lambda=4, \quad \mu=\frac{1}{0.1}=10, \quad \rho=\frac{\lambda}{\mu}=0.4
(1)修理店空闲的概率
p_{0}=1-\rho=1-0.4=0.6
(2)店内恰有3个顾客的概率
p_{3}=\rho^{3}(1-\rho)=0.4^{3} \times(1-0.4)=0.38
(3)店内至少有1顾客的概率
P\{N \geq 1\}=1-p_{0}=\rho=0.4
(4)在店内的平均顾客数
L_{s}=\frac{\rho}{1-\rho}=0.67 \quad(人)
(5)每位顾客在店内的平均逗留时间
W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}=\frac{0.67}{4}(\mathrm{h})=10(\mathrm{min})
(6)等待服务的平均顾客数
L_{q}=L_{s}-\rho=\frac{\rho^{2}}{1-\rho}=\frac{0.4^{2}}{1-0.4}=0.267(人)
(7)每位顾客平均等待服务时间
W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}=\frac{0.267}{4}(\mathrm{h})=4(\mathrm{min})
(8)顾客在店内逗留时间超过 10min 的概率
P\{T>10\}=e^{-10\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{15}\right)}=e^{-1}=0.3679

Lingo程序:

model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
Pwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end

@peb(rho,s)中,第一个参数rho即为\rho,第二个参数为s为服务台个数。

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