【数学建模算法】(17)排队论：生灭过程

作者: 热爱学习的高老板 | 来源:发表于2019-08-16 18:08 被阅读2次

一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 $N(t)$ 表示时刻 $t$ 系统中的顾客数，则 $\{N(t), t \geq 0\}$ 就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说， $\{N(t), t \geq 0\}$ 就是一类特殊的随机过程——生灭过程。下面结合排队论的属于给出生灭过程的定义。

生灭过程定义：假设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 为一个随机过程。若 $N(t)$ 的概率分布具有如下性质：
（1）假设 $N(t)=n$ ，则从时刻 $t$ 起到下一个顾客到达时刻值止的时间服从参数为 $\lambda_{n}$ 的负指数分布， $n=0,1,2, \cdots$
（2）假设 $N(t)=n$ ，则从时刻 $t$ 起到下一个顾客离去时刻值止的时间服从参数为 $\mu_{n}$ 的负指数分布， $n=0,1,2, \cdots$
（3）同一时刻只有一个顾客到达或离去。

则称 $\{N(t), t \geq 0\}$ 为一个生灭过程。

一般来说，得到 $N(t)$ 的分布 $p_{n}(t)=P\{N(t)=n\} \quad(n=0,1,2, \cdots)$ 是比较困难的，因此通常是求当系统到达平衡后的状态分布，记为 $p_{n}, n=0,1,2, \cdots$

为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状态 n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

平衡方程

可解得：

上述平衡方程的解

记：
$C_{n}=\frac{\lambda_{n-1} \lambda_{n-2} \cdots \lambda_{0}}{\mu_{n} \mu_{n-1} \cdots \mu_{1}}, \quad n=1,2, \cdots$
则平衡状态的分布是：
$p_{n}=C_{n} p_{0}, \quad n=1,2, \cdots$
由概率分布的要求：
$\sum_{n=0}^{\infty} p_{n}=1$
有：
$\left[1+\sum_{n=1}^{\infty} C_{n}\right] p_{0}=1$
于是：
$p_{0}=\frac{1}{1+\sum_{n=1}^{\infty} C_{n}}$