1. 数学期望
数学期望刻画了随机变量X的所有可能取值在概率意义下的平均值,实际上是均值的一种体现。
离散型随机变量的数学期望:
连续型随机变量的数学期望:
随机变量函数的数学期望:
数学期望的性质:
2. 方差
定义:反应随机变量与其数学期望的偏离程度
设是一个随机变量,如果存在,则称为的方差,记为,即
称为的标准差。
性质:
重要分布的期望和方差:
其中,指数分布的概率密度函数为:
3. 协方差
描述二维随机变量之间的与的关系。
协方差的定义:
协方差的计算式以及性质:
补:
推广到n维随机变量得到:
4. 相关系数
相关系数的定义:"标准化的协方差"
设是二维随机变量,若,称
为和的相关系数,当,称随机变量与不相关。
注意:当与独立时,与不相关。因为:
等价定义:将随机变量标准化为
则,
相关系数的性质:
设为随机变量的相关系数,则有:
(1). 。
(2). 的充要条件是与依概率线性相关,即存在常数,使证明过程见《概率论与随机过程》P115讨论:
- 当时,与存在线性相关的概率为1,不存在线性相关的概率为0.
- 当时,这种线性相关的概率随着的降低而减小。
- 当时,它们之间不存在线性关系。
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