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Chapter4—随机变量的数字特征

Chapter4—随机变量的数字特征

作者: crishawy | 来源:发表于2019-08-12 11:32 被阅读0次

    1. 数学期望

    数学期望刻画了随机变量X的所有可能取值在概率意义下的平均值,实际上是均值的一种体现。

    离散型随机变量的数学期望:

    连续型随机变量的数学期望:

    随机变量函数的数学期望:

    数学期望的性质:

    2. 方差

    定义:反应随机变量与其数学期望的偏离程度

    X是一个随机变量,如果E([X-E(X)])^{2}存在,则称E([X-E(X)])^{2}X方差,记为D(X),即
    D(X)=E([X-E(X)])^{2}\sqrt{D(X)}X标准差

    性质:

    重要分布的期望和方差:

    其中,指数分布的概率密度函数为:f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta} e^{-\frac{1}{\theta} x}, &x>0\\ 0, &x\le0 \end{cases}

    3. 协方差

    描述二维随机变量(X,Y)之间的XY的关系。

    协方差的定义:

    协方差的计算式以及性质:

    补:
    D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2Cov(X,Y)推广到n维随机变量得到:
    D(\sum_{i=1}^{n}X_{i})=\sum_{i=1}^{n}D(X_{i})+2\sum_{1\le i<j \le n}Cov(X_{i},X_{j})

    4. 相关系数

    相关系数的定义:"标准化的协方差"

    (X,Y)是二维随机变量,若D(X)>0,D(Y)>0,称
    \rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}XY的相关系数,当\rho_{XY}=0,称随机变量XY不相关
    注意:XY独立时,XY不相关。因为:
    Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0

    等价定义:将随机变量标准化为
    X^{*}=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}},Y^{*}=\frac{Y-E(Y)}{\sqrt{D(Y)}}则,\rho_{XY}=E(X^{*}Y^{*})=Cov(X^{*},Y^{*})

    相关系数的性质:

    \rho_{XY}为随机变量(X,Y)的相关系数,则有:
    (1). |\rho_{XY}|\le 1
    (2). |\rho_{XY}| = 1的充要条件是XY依概率线性相关,即存在常数a(a\ne 0),b,使P(Y=aX+b)=1证明过程见《概率论与随机过程》P115

    讨论:

    • |\rho_{XY}| = 1时,XY存在线性相关的概率为1,不存在线性相关的概率为0.
    • |\rho_{XY}| < 1时,这种线性相关的概率随着\rho_{XY}的降低而减小。
    • |\rho_{XY}| = 0时,它们之间不存在线性关系。

    5. 矩的概念

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