概率论（四）：随机变量的数字特征

作者: 逸无无争 | 来源:发表于2020-08-27 17:52 被阅读0次

概率论（四）：随机变量的数字特征
无标题文章
决战考研147天
(概率论基础4)随机变量的数字特征
概率论与数理统计——四、随机变量的数字特征
金融分析师CFADay3
四、随机变量的数字特征笔记
附录E：概率论之随机变量的数字特征
Covariance&Matrix(协方差&矩阵
第一章概率统计基本知识

数学期望

对于离散型随机变量 $X$ 来说 $P\left \{X=x_{k} \right \}=p_{k},k=1,2,\dots$ ，若存在绝对收敛级数 $\sum_{k=1}^{\infty}x_{k}p_{k}$ ，则称此级数为随机变量的数学期望，记作: $E(X)$ 。若为连续型随机变量 $X$ （概率密度 $f(x)$ ），存在的绝对收敛 $\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$ 积分则是其数学期望。数学期望简称期望，又称均值。

$C$ 为常数，则 $E(C)=C$
$X$ 为随机变量， $C$ 为常数，则 $E(CX)=CE(X)$
$X,Y$ 为两个随机变量，则 $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
$X,Y$ 是相互独立的随机变量，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$

方差

$X$ 是一个随机变量，若 $E\left \{[X-E(X)]^2 \right \}$ 存在，则称为 $X$ 的方差，记为 $D(X)$ 或 $Var(X)$ . $\sqrt{D(x)}$ 称为标准差或均方差，记作： $\sigma (x)$

离散型随机变量： $D(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\left [x_{k}-E(x) \right ]^2p_{k}$
连续型随机变量： $D(x)=\int_{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^2f(x)dx$
$D(x)=E(X^2)-[E(X)]^2$
$C$ 为常数，则 $D(C)=0$
$X$ 为随机变量， $C$ 为常数，则 $D(CX)=C^2D(X),D(X+C)=D(X)$
$X,Y$ 为两个随机变量，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\left \{(X-E(X))(Y-E(Y)) \right \}$
$X,Y$ 是相互独立的随机变量，则 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

切比雪夫不等式：随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X)=\mu$ ，方差 $D(X)=\sigma^2$ ,那么对于任意正数 $\varepsilon$ ,有不等式 $P\left \{|X-\mu|\geqslant \varepsilon \right \}\leqslant \frac{\sigma^2}{\varepsilon}$ 成立

协方差及相关系数

随机变量 $X,Y$ 的协方差： $E\left \{\left [X-E(X) \right ]\left [Y-E(Y) \right ] \right \}$ ,记作： $Cov(X,Y)$

随机变量 $X,Y$ 的相关系数： $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)} }$

$Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X)$
$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$
$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$
$Cov(X_{1}+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
$|\rho_{XY}|\leqslant1$
$|\rho_{XY}|=1\Leftrightarrow \exists 常数a,b,使P\left \{Y=a+bX \right \}=1$

当 $\rho_{XY} =0$ 时， $X,Y$ 不相关

矩，协方差矩阵

设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 的二阶混合中心矩 $c_{ij}=Cov(X_i,X_j)=E\left \{\left [X_i-E(X_i) \right ]\left [X_j-E(X_j) \right ] \right \},i,j=1,2,\dots,n$ 都存在，则称矩阵 $C=\begin{pmatrix} c_{11} &c_{12} & \cdots & c_{1n}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n}\\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ c_{n1}&c_{n2} & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix}$ 为 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\dots,X_n)$ 的协方差矩阵

概率论（四）：随机变量的数字特征
数学期望对于离散型随机变量来说，若存在绝对收敛级数，则称此级数为随机变量的数学期望，记作:。若为连续型随机变量（...
无标题文章
[TOC] # 四随机变量的数字特征 ## 1.数学期望离散型 $...
决战考研147天
考研倒计时147天数学8个小时:本来准备下午学习专业课的，可是想着上午概率论的随机变量的数字特征没有看完，试着看...
(概率论基础4)随机变量的数字特征
1.数学期望（均值） 1.1 期望的定义离散型随机变量假设离散型随机变量的分布律为：。若级数收敛，则称为随机变...
概率论与数理统计——四、随机变量的数字特征
人们感兴趣于某些能描述随机变量某一种特征的常数。如：数学期望，方差，相关系数和矩 1 数学期望 2 方差切比雪夫...
金融分析师CFADay3
概率论基础概率论相关术语（Terminology of Probability）: 1、随机变量（Random ...
四、随机变量的数字特征笔记
随机变量的数学期望常见分布的数学期望随机变量函数的数学期望 Y=g(X)和Z=g(X,Y)的数学期望公式方差...
附录E：概率论之随机变量的数字特征
时间：2018-09-11 作者：魏文应一、数学期望平均值我们给一个文艺一点的名字，把平均值叫做数学期望。...
Covariance&Matrix(协方差&矩阵
统计学中均值、标准差、方差这些概念和例子都很常见。这些数字特征不是本文要重点探讨的可以看看这篇对于概率论数字特征的...
第一章概率统计基本知识
1.随机事件与概率 2.随机变量及其分布 3.随机变量的数字特征 4.极限定理 5.数理统计的基本概念