作者：亚马逊的蝴蝶（Butterfly_of_Amazon）
上一篇文章《爱因斯坦和玻尔争论的到底是什么》中，说到爱因斯坦通过EPR佯谬指出，哥本哈根解释抛弃了实在性也就意味着违反定域性，玻尔的回答暗示了超距作用的存在。
不仅是爱因斯坦，相信大多数人都难以认同玻尔的回答，但却无法判定对错。这个问题本来是科学问题，科学却对它无能为力，争论似乎只能停留在哲学层面。为量子力学理论立下汗马功劳的泡利抱怨说：“与爱因斯坦争论，往往会归结到针尖上能站多少个天使这类问题上去”。此后的二十年，谁都无法说服谁。
1955年爱因斯坦去世，1962年玻尔离开这个世界，两人都为各自的信念奋斗了一生。玻尔去世前，工作室的黑板上还画着当年与爱因斯坦“华山论剑”的光箱实验草图，玻尔经常用这个图给来访者解释量子理论。尽管被爱因斯坦质疑为不完备，几十年间，量子理论已势不可挡地发展起来，给人类社会带来伟大的技术革命。虽然已很少有人提起，但两人的争论还在等待一个最终判决。
玻尔去世两年后，终于有人将这个问题向前推进了关键的一步。这个人就是英国物理学家约翰·斯图尔特·贝尔(John Stewart Bell)，他提出了大名鼎鼎的贝尔不等式，为判决指出了方向。
贝尔不等式本身并不复杂，我后面会写出推导过程。相信我，具备中学数学知识就可以看懂。
很多科普文章没有把贝尔不等式讲清楚，包括我很喜欢的《量子物理史话——上帝掷骰子吗》，主要是因为怕影响通俗性而省略了对复杂环节和概念的描述。既然我把我的文章定位为“比科普深入，比论文浅显”，我将尝试增加我认为必要的内容。但作为科普文章，所谓的“深入”也只能是适可而止。
预警：虽然我能保证不难，但不动脑筋肯定是读不懂的，请集中注意力。
一、判定对错的难点
上一篇文章中说到：“爱因斯坦和玻尔关于EPR佯谬的解释似乎无法分出对错，因为无人能在粒子飞行过程中插入检测点”。对于这个难点，该怎么解决呢？
先给大家讲一个《罗辑思维》第172期中的故事。
日本有一项体育运动叫相扑，带有强烈的宗教和神圣色彩，无论是训练还是比赛，都充满了仪式感，属于日本民族文化圣坛上的东西，被日本人认为是最干净的运动。
相扑运动跟围棋一样，也分段位，共十级，最上面那级叫横纲，在日本具有神一样的地位。运动员达到横纲之后，将终身保持这个荣誉。
我们知道体育比赛往往会有各种各样的作弊，比如贿赂裁判、服用兴奋剂、假赛，等等。但日本人认为相扑不会，因为相扑是神圣和干净的，每位相扑运动员都信奉相扑哲学，有着崇高的道德感，在赛场上秉承武士道精神，拼死拼搏，绝对不会干出类似放水、假赛这样肮脏的事情。
那么相扑的道德水准是不是真的像他们说的那么高呢？曾经有两位横纲，退休后合写了一本书叫《赛场内外》，书中有一小段影影绰绰说到假赛在相扑中普遍存在。这本书出版后引起轩然大波，民众指责他俩“信口雌黄”，污蔑“民族心中的圣坛”。后来两人死得非常惨，几乎是在同一天，都因为呼吸衰竭而死。医院的诊断结论是急性肺炎。当然谁都能想明白，这肯定不是正常死亡，两个人写了同一本书，同一天死，一定是因为得罪了什么人，妨碍了某些人的利益，被黑社会做掉了。
但相扑比赛到底存不存在假赛的情况呢？判定假赛就是要证明参赛者比赛时没有尽力，但如何认定参赛者没有尽力呢？这个问题是不是和前面说的对爱因斯坦和玻尔的争论做出判定有相似的地方？就像谁也不能中途观察粒子一样，谁也无法进入参赛者的内心。
但是，这个看似无解的问题被科学找到了答案。
相扑运动有个规则：每届大赛，每个运动员要打十五场，如果赢了八场及以上，就可以晋级。如果到最后一场时，你已经赢了七场，那么这场对你就是关键场次，因为它决定你是不是能晋级，性命攸关，所以你一定会非常拼命。而你的对手也许与你不一样，他可能已经赢了八场，或者只赢了六场，这场的输赢对他没有太大意义，他当然没有必要跟你拼命，为了避免受伤或交换利益而给你放水。
有人把几十年间日本相扑运动的资料全部调出来，共32000场，找出其中的关键场数进行统计，得出了一个惊人的发现：性命攸关方的胜率几乎比平时高出一倍！但如果每位相扑运动员都遵守相扑哲学和道德，拼死拼搏，怎么可能出现这么大的胜率变化呢？答案不言自明：对方放水了。日本文化圣坛上的相扑运动其实并不如他们所说的那么干净。
大家可能已经猜出来了我想说的意思：统计和概率将在对爱因斯坦和玻尔争论的判决上起着至关重要的作用。
那么EPR佯谬里的“关键场数”是什么呢？
二、爱玻之争的“关键场数”
贝尔之所以能为判决指出方向，正是因为他找到了爱玻之争的“关键场数”。下面将依次讲解粒子自旋的概念、自旋的测量、贝尔不等式的推导，最后得出爱玻之争的“关键场数”。
描述过程中，我将略去对于理解贝尔不等式不必要的概念，只留下确保逻辑链条完整的内容。
限于水平，部分描述可能专业性不足，还望包涵。如有硬伤，肯请批评指正。
（一）基本粒子的自旋
经典物理中物体的自转很好理解，一个物体围绕自身轴心旋转即为自转，可用角动量来描述。角动量的大小为物体上每个点的质量乘以该点速度再乘以该点与转轴的距离的累加之和；角动量的方向用右手定则确定：右手除大拇指外的四指顺着旋转方向环握，此时右手大拇指所指方向即为角动量的方向。下图中角动量方向是向上的，如果图中转盘反向旋转，则角动量方向向下。对角动量不了解没有关系，记住这是物理学的一个约定就可以了，按照这个约定，用一个有方向有长度的矢量（即箭头）就可以准确描述经典物理中某个物体的旋转。
基本粒子自旋正是得名于与经典物理中角动量的类比。了解经典物理的角动量有助于理解粒子自旋，但仅限于对比相似点与不同点，不能用经典物理中的现象解释粒子自旋。
对于自旋的计算不属于本文范围，我仅通过列举和对比两者特点来帮大家形成基本概念：
- 粒子自旋是粒子所具有的内禀性质，可理解为粒子与生俱来的一种角动量；其运算规则与经典物理中的角动量有类似之处；根据计算可知自旋会产生磁场，并已得到实验证实。
- 粒子自旋的形成原理未知，不能像经典物理中的自转那样理解为粒子围绕自身质心的旋转。
- 粒子自旋的量值是量子化的，无法被改变，比如：测量电子任意方向的自旋，都将得到或正或负的固定数值。这点与经典物理很不一样，经典物理中物体旋转得越快则角动量越大，角动量的方向除了向上或向下，也可以向其它方向偏转任何角度，角动量的大小和方向独立于测量方法而存在。这一点非常重要，请认真体会。
是不是有些晕？请放轻松，不只是你，相信任何人都无法理解。正像上一篇文章所说：所谓理解，只是用熟悉的事物进行类比和推导，而量子世界里的概念大部分都无法在我们熟悉的事物中找到可类比的东西。基本粒子奇异特性的发现得益于众多科学家的开创性工作，他们基于实验数据，借助天才般的灵光乍现，从几个基本假设出发，通过数学计算推导得出。经典物理对此往往无法解释，甚至连发现它们的科学家自己也无法理解。
（二）自旋方向的测量
1922年，德国物理学家奥托·斯特恩和瓦尔特·格拉赫通过著名的斯特恩—革拉赫实验，首次证实了原子角动量的量子化，奥托·斯特恩因此获得1943年诺贝尔物理学奖。下面是实验示意图。
斯特恩－革拉赫实验
大量银原子从电炉内蒸发射出，通过狭缝形成细束，经过一个抽成真空的不均匀的磁场区域（磁场垂直于射束方向），最后到达照相底片上。按照经典物理分析，银原子自身磁矩方向是随机的，因此受到装置磁场的引力或斥力大小也是随机分布的，因此银原子可能击打在底片上的任意位置。而实际实验中，当把底片显像后，底片上出现了两条黑斑，表明银原子经过不均匀磁场区域时分成了两束，说明原子的角动量是量子化的，在磁场中不能任意取向。
1927 年，泡利将自旋概念应用到量子力学体系中，同年弗莱塞在实验中发现银、氢和钠原子的轨道角动量为零，才确定斯特恩—盖拉赫实验现象归因于电子的自旋。银原子最外层电子轨道只有一个电子，该电子的自旋磁矩导致银原子成为一个小磁体。泡利通过计算推断，测量电子自旋只能得到两种量子态，分别称为上旋或下旋，从而解释了银原子在不均匀外磁场作用下的向上或向下偏转，见下图。
斯特恩—革拉赫实验装置成为测量电子自旋角动量方向的重要工具。
（三）贝尔不等式的推导
主角终于登场了。1928年7月28日，约翰•斯图尔特•贝尔出生在北爱尔兰的首府贝尔法斯特，从小聪颖过人。贝尔读大学时，量子理论主要的开创性工作已基本完成，正在推动技术革命中发挥重要作用，但贝尔发现自己像爱因斯坦一样难以接受现有的量子理论，他认为物理世界一定是确定的，他把自己描述为爱因斯坦的忠实追随者。
贝尔用电子自旋代替粒子的动量与位置，仔细琢磨EPR论文描述的情景：“一对纠缠中的电子背向飞往远处，分别测量它们在同一方向的自旋，一定会得出一个上旋一个下旋的结果”。他突发奇想：“如果测量不同方向的自旋会怎么样？” 经过反复把玩各种可能情况下的数据，他渐渐理清了思路，于1964年发表了论文《On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox》（论EPR佯谬）（论文下载）。
文章写到这里，我停了很多天。
科普文章的困难是要在专业性和通俗性之间找平衡，不能写太多太复杂的计算和推导（说实话，对于量子力学，复杂的计算我目前的能力也做不到），只能参考其它资料进行相对通俗易懂的描述，但有时会担心参考资料的权威性而不敢下笔，怕描述不严谨，误导读者。
我设法找到了1964年贝尔论文的英文原文，认真读完才敢放心接着写。后面我会说到具体是哪个点让我停了这么久。
下面写的贝尔不等式推导过程是改编简化版，只考虑了离散输入与输出的情况，而贝尔的原论文涵盖连续和离散输入输出的所有情况，更有普适性，不过两者基本思想是一样的。
贝尔和爱因斯坦一样，相信纠缠状态的两个粒子在分离的瞬间，已经“约定好”之后的行为，确定了每时每刻的相关物理量值（注：贝尔实际相信的是玻姆的隐变量理论，这里略去不写，否则文章将过于复杂）。基于这点，他想：
假设有两个纠缠状态的电子A和B，现指定三个方向x、y、z（这三个方向相互间不一定垂直，可以是任意夹角）。对于A，在x方向测量它的自旋，测量结果可能是上旋，也可能是下旋，分别用Ax+、Ax-表示；类似的，对于A，在y方向测量，结果可能是Ay+或Ay-，同理有Az+、Az-。
按照爱因斯坦的观点，由于测量前，电子在x、y、z方向上已经有确定的自旋方向，那么，Ax、Ay、Az的全部组合将包含在下表中：
同理，B也符合上表情况。考虑到在相同方向上B的自旋测量结果与A相反，故A、B自旋的全部组合将包含在下表中：
上表中显然有：N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1
下面考察“相关率”在这个场景中的情况。
所谓相关率，是指两个变量的关联程度，通俗地说，就是衡量两个变量的协作程度。比如：甲乙两个人，如果我们把“当甲做A事时乙做B事；甲不做A事时乙也不做B事”当作正相关，把“当甲做A事时乙不做B事；甲不做A事时乙做B事”当作负相关，那么将正相关出现的概率减去负相关出现的概率就得出总的相关率。如果大于0，表示两人倾向于协作，数值越大，表示协作程度越高；如果小于0，表示两人倾向于抗拒协作，数值越小，表示抗拒程度越高；如果等于0表示什么呢？表示两人的行为随机，不存在导致两人协作或抗拒协作的主观或客观原因。
对于A、B两个电子来说，以它们在x方向测得的自旋方向为例，如果以两者方向相反为正相关，方向相同为负相关（之所以这么设定，是考虑到一对纠缠的电子在同方向上测得的自旋方向是相反的），则A、B两个电子在x方向的自旋相关率为：
Pxx=N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8=1
那么，考察两个电子在不同方向上测量结果的相关率是多少呢？根据上表，很容易得出：
Pxy=N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8
Pxz=N1-N2+N3-N4-N5+N6-N7+N8
Pzy=N1-N2-N3+N4+N5-N6-N7+N8
可得：
|Pxz - Pzy| = 2*|N3-N4-N5+N6| ≦ 2*(N3+N4+N5+N6) = 1 + 2*(N3+N4+N5+N6) - (N1+N2+N3+N4+N5+N6+N7+N8) = 1 - (N1+N2-N3-N4-N5-N6+N7+N8) = 1 - Pxy
即：|Pxz - Pzy| ≦ 1 - Pxy，这就是大名鼎鼎的贝尔不等式。
那么这个贝尔不等式表示的是什么意思呢？前面提到“纠缠状态的两个粒子在分离的瞬间，已经约定了之后的行为”（实际贝尔相信的是隐变量理论，比这个复杂一些），这是推导贝尔不等式的前提。这个前提表示的是“分离之后，两个电子不再相互影响”，只要不相互影响，相关率Pxy、Pxz和Pzy 就必然要符合贝尔不等式描述的关系（注：我认为贝尔不等式在这里存在一个疑点，到文章最后再说）。
那么这个贝尔不等式为什么重要？因为贝尔发现：依据量子力学理论，在某些情况下，纠缠电子的统计学行为不符合贝尔不等式描述的情况！这就给实验验证EPR指出了一个可行的方向。
但是，依据量子力学理论，如何得知“在某些情况下，纠缠电子的统计学行为不符合贝尔不等式描述的情况”？我在寻找材料上花了几天时间，找到的材料里能让我放心采用的也就是贝尔的论文原文了。论文中关于这部分实际只有一句话和一个式子(3)：
贝尔论文中的原文
图中式子如何推导而来，论文没有交待。我结合我找到的关于实验数据分析的材料，对式(3)进行推导，可能有助于大家理解。
实验证明：
- 一个银原子束L，经过一个磁场方向为a的斯特恩—革拉赫装置，将被分裂为两束，一束向a方向偏转（记为a=1），另一束则向-a方向偏转（记为a=-1）。
- 将其中向a方向偏转的银原子束记作A，向-a方向偏转的银原子束记作-A，让A再经过一个磁场方向为b的斯特恩—革拉赫装置，则它将再次分裂为两束，其中一束向b偏转（记为b=1），另一束向-b方向偏转（记为b=-1）。
- 如果A有N个电子 ，b与a的夹角为γ，则向b偏转的那束有NCos2(γ/2)个银原子，向-b偏转的那束有NSin2(γ/2)个银原子。
根据上述实验事实，可以得出：
- 对于A中的单个银原子e来说：
向 b方向偏转的概率 P(a=1,b=1)=Cos2(γ/2)
向-b方向偏转的概率 P(a=1,b=-1)=Sin2(γ/2)。- 类似，可计算-A中银原子的偏转概率：
P(a=-1,b=1)=Sin2(γ/2)
P(a=-1,b=-1)=Cos2(γ/2)- 因为A中银原子数加-A中银原子数等于总银原子数，由1和2可知，对于银原子束L：
银原子在a和b中偏转同向（即均为正或均为负）的概率 P(a=b)=Cos2(γ/2)
在a和b中偏转异向（即一正一负）的概率 P(a=-b)=Sin2(γ/2)，前面已说“弗莱塞通过实验确定斯特恩—盖拉赫实验银原子偏转现象归因于电子的自旋”，故可将此结论推广到EPR论文所描述的情景：处于纠缠态的电子对，各自向相反方向飞去，在电子经过的路径上，在a方向测量第一个电子的自旋，在b方向测量第二个电子的自旋，a与b夹角为γ。由于纠缠态电子在同方向上测得的自旋方向必然相反，由前述3得出：
两个电子在a和b中偏转同向（即均为正或均为负）的概率 P(a=b)=Sin2(γ/2)
两个电子在a和b中偏转异向（即一正一负）的概率 P(a=-b)=Cos2(γ/2)如以两个电子在a和b中偏转异向为正相关，则相关率为：
Pab= P(a=-b)-P(a=b)=Cos2(γ/2) - Sin2(γ/2) = Cos(γ)
Cos(γ)正是a、b两个方向的单位矢量的点积，将这两个单位矢量表示为a和b，有：
Pab = a•b
贝尔论文的式(3)中的<σ1•a σ2•b>是以两个电子在a和b中偏转同向为正相关，其值应与Pab异号，故有：
<σ1•a σ2•b> = -Pab = -a•b
至此，贝尔论文中的式(3)推导完毕。以上推导，由对同一个电子先后测量不同方向，过渡到对纠缠电子同时测量不同方向，这个过程逻辑并不严谨，仅用于帮助大家理解式(3)。
把 Pab= Cos(γ) 这个结论代入贝尔不等式会出现什么情况？
设x与y间夹角为α，y与z间夹角为β，z与x间夹角为θ（α，β，θ 均大于0度且小于180度），依据 Pab= Cos(γ)，有：
Pxy= Cos(α)
Pxz= Cos(β)
Pzy= Cos(θ)
将Pxy、Pxz、Pzy代入贝尔不等式，得：
|Cos(β) - Cos(θ)| ≦ 1 - Cos(α)
=> |1 - 2Sin2(β/2) - (1 - 2Sin2(θ/2))| ≦ 1 - (1 - 2Sin2(α/2))
=> |Sin2(θ/2) - Sin2(β/2)| ≦ Sin2(α/2)
在β ≦ θ 时，有：Sin2(θ/2) - Sin2(β/2) ≦ Sin2(α/2)
=> Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2) ≦ 0
下面考虑 θ = α + β 时的情况，有：
Sin2θ/2) = Sin2(α/2 + β/2)
= [Sin(α/2)Cos(β/2) + Cos(α/2)Sin(β/2)]2
= Sin2(α/2)Cos2(β/2) + 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) + Cos2(α/2)Sin2(β/2)
故：
Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2)
= 2Sin(α/2)Cos(α/2)Sin(β/2)Cos(β/2) - 2Sin2(α/2)Sin2(β/2)
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)[Cos(α/2)Cos(β/2) - Sin(α/2)Sin(β/2)]
= 2Sin(α/2)Sin(β/2)Cos(α/2 + β/2)
由于 Sin(α/2)Sin(β/2) >0 ，所以要满足 Sin2(θ/2) - Sin2(α/2) - Sin2(β/2) ≦ 0，则必须 Cos(α/2 + β/2) ≦ 0 ，也就是说 α/2 + β/2 必须大于 90度。显然，在 α 和 β 均小于90度的情况下，这个条件是不满足的，也就是说此时贝尔不等式不成立。
我们来分析一下这表示什么：
贝尔不等式是基于爱因斯坦“定域性和实在性都必须满足”的前提推导出来的，就是说只要物理世界是定域且实在的，贝尔不等式就不可能被突破。假如贝尔不等式被突破，说明要么玻尔否认实在性的解释是对的，要么就是电子间存在突破定域性限制的通信，使它们能在测量瞬间出现某种协作，从而影响实验结果。
至此，终于找到了爱玻之争的“关键场数”：将a、b随机在x、y、z三个方向上变化，x、y、z之间选择依据量子理论推导出来的不支持贝尔不等式的夹角，测量大量纠缠电子对的自旋方向，看统计数据是否突破贝尔不等式的限制，如果不突破，则支持爱因斯坦的观点，否则，倾向于支持玻尔的观点。
三、实验结果的判决
有了贝尔不等式，物理学家们开始着手设计实验来进行验证。
- 二十世纪70年代，人们在伯克利、哈佛和德州大学进行了一系列实验。由于纠缠电子的产生、传送与测量都很困难，因此用光子代替电子，用光子的偏振代替电子的自旋，用偏振器测量光子的偏振。由于技术限制，实验只能产生很弱的光信号，并且只能测得单一的“+”，而不是“+”和“-”。出乎贝尔的意料，实验结果似乎指向爱因斯坦是错的。
- 二十世纪80年代，激光技术的进步使得人们可以进行更为精确的实验。1982年，法国人阿斯派克特使用钙原子来产生光子对，将偏振器放置在距离光源12米的位置，每10纳秒就切换一次偏振器方向。随着一对对光子的偏振方向被记录下来，经过3个多小时，实验结果的指向非常清晰：与量子理论的预言完全吻合，而与爱因斯坦的预测偏离了5个标准方差。
- 1998年，奥地利因斯布鲁克大学的科学家让光子飞出相距400米，实验结果与爱因斯坦的预测存在30个标准方差的偏离。
- 2000年，中国的潘建伟在Nature杂志上报道，他们的实验与爱因斯坦的预测偏离8个标准方差。
这些实验结果已足够判定爱因斯坦所坚持的信念没有得到支持！
四、判决结果说明了什么
如果实验不存在缺陷，那么实验结果做出的判决让我们必须接受的事实是：大多数人所坚信的定域性和实在性，真实的物理世界并不需要同时满足。
对于阿斯派克特的实验结果，物理学家们先是出奇的沉默，过了很长一段时间才开始发表自己的看法。大家对实验结果的理解非常不同，有人不敢相信，坚持认为实验存在缺陷；有人说“原来上帝真的是在掷骰子”。贝尔虽然认可实验结果，但拒绝放弃实在性，他宁愿牺牲定域性也坚持认为世界是客观实在的，“上帝不掷骰子”，他坚信量子理论是一个过渡理论，是解释物理世界的权宜之计。
关于贝尔不等式实验引发的讨论与思考，网上文章举不胜举，有很多写得很好，这里就不多叙述了。请问你有什么感想呢？欢迎留言讨论。
我在写这篇文章前，对贝尔不等式判决结果深信不疑，但在写的过程中，随着查看的资料越来越多，思考越来越深入，反而产生了怀疑。我隐隐觉得哪里不对，实验似乎存在一个缺陷。但我还没有想清楚，想清楚后我会再写一篇文章，有可能是对实验进一步解释，也可能是对实验进行质疑。敬请期待。
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