数学大师欧拉的猜想与类比

作者: 一念一觉一圣人 | 来源:发表于2019-06-29 21:20 被阅读2次

类比，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，数学对象形式结构的接近，从而推出它们在其它方面也可能相似或相同的一种推理方法，也是一种观点。类比的推理是一种“合情推理”，不是证明，它无法保证已知相同的属性与推出的属性之间有必然的联系。但是，它是获得新思路，新发现的一种观点、一种手段。德国数学家开普勒曾经说过：“我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。”

在数学史上，有很多重要的数学猜想是通过类比得到的。比如著名的数学家欧拉在处理无穷级数求和问题时，由有限的情况类比无限的情况，获得了正确的答案。17世纪瑞士数学家雅各·伯努利未曾求出所有自然数平方的倒数之和，即 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots$ 为此，伯努利公开征求答案。问题获得了欧拉的注意，他把有限次的代数多项式因子分解定理应用于无限次的情况。要知道，代数多项式分解因式后，令各一次因式为零便可求出该代数方程各个根。反之，若各根为已知，则多项式可用各根做成的一次式为因式，所有的一次因式相乘。那么，象 $\sin x$ 是否可以表示成因子连乘呢？已知 $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$ 可视为一个无限多次的代数多项式。当 $\sin x=0$ 时，有无限多个根 $x=0,\pm\pi,\pm 2\pi,\pm 3\pi,\cdots$ 如果 $\sin x$ 能表示成无限多个因子连乘，那么应该有 $\sin x=x[1-\frac{x^2}{\pi^2}][1-\frac{x^2}{(2\pi)^2}][1-\frac{x^2}{(3\pi)^2}]\cdots$ 这又是一个著名的欧拉公式，该公式已被严格的证明。如果把上面式子的右端展开，可以看出 $-x^3$ 的系数是 $\frac{1}{\pi^2}+\frac{1}{(2\pi)^2}+\frac{1}{(3\pi)^2}+\cdots=\frac{1}{3!}$ 从而可以得到 $1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$