“巧构”二面角

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-15 09:22 被阅读0次

“巧构”二面角
高中数学，立体几何大题第2讲，平面与平面垂直和二面角
二面角：2016年理数全国卷A题18
立体几何复盘：如何解答二面角问题
立体几何问题中二面角的转化和应用：面面—线面—线线关系，找准主线
万法华胥一梦中
七绝•习书体会（平水韵）
咏龙舟模型（七绝）
诗词走通心与心（二）
拙作三篇

【高考地位】
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有三种方法：其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
【方法点评】

方法一定义法

定义法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；
第二步然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；
第三步得出结论.
【例】. 在边长为 $a$ 的正三角形 $ABC$ 中， $AD \perp BC$ 于 $D$ ，沿 $AD$ 折成二面角 $B-AD-C$ 后， $BC=\dfrac{a}{2}$ ，这时二面角 $B-AD-C$ 的大小为___．
【解析】

根据已知条件知 $D$ 为正三角形 $ABC$ 边 $BC$ 中点，且 $BD \perp AD$ ， $CD \perp AD$ ；

所以 $\angle BDC$ 为二面角 $B-AD-C$ 的平面角，连接 $BC$

由 $BC=\dfrac{a}{2}=\dfrac{1}{2}AB=BD=CD$ 得 $\triangle BCD$ 为正三角形；

所以 $\angle BDC =60^\circ$

故二面角 $B-AD-C$ 的大小为 $60^\circ$ .

【总结】

本题考查二面角平面角的概念及求法，属中档题.弄清图形折叠前后的变化，认识到等边三角形的高线也是中线是解题的关键，根据已知条件能够说明 $\angle BDC$ 为二面角 $B-AD-C$ 的平面角，连接 $BC$ ，从而容易说明 $\triangle BCD$ 为正三角形，从而得出二面角 $B-AD-C$ 的大小为 $60^\circ$ .

方法二射影法

射影法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步首先求出其中一个平面的垂线；
第二步然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；
第三步运用解三角形等相关知识即可求出其大小.
【例】. 如图所示，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，平面 $A_1BC \perp$ 侧面 $A_1B_1BA$ ，且 $AA_1=AB=2$ ．

（1）求证： $AB\perp BC$ ；
（2）若直线 $AC$ 与平面 $A_1BC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{1}{2}$ ，求锐二面角 $A-A_1C-B$ 的大小．

【解析】

（1）证明：如图，取 $A_1B$ 的中点 $D$ ，连接 $AD$ ．

因 $AA_1=AB$ ，则 $AD \perp A_1B$ ，

由平面 $A_1BC \perp$ 侧面 $A_1ABB_1$ ，

且平面 $A_1BC \cap$ 侧面 $A_1ABB_1=A_1B$ ，

得 $AD \perp$ 平面 $A_1BC$ ，又 $BC\subset$ 平面 $A_1BC$ ，

所以 $AD \perp BC$

因为三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 是直三棱柱，

则 $AA_1 \perp$ 底面 $ABC$ ，所以 $AA_1 \perp BC$ ．

又 $AA_1 \cap AD=A$ ，从而 $BC \perp$ 侧面 $A_1ABB_1$ ，

又 $AB\subset$ 侧面 $A_1ABB_1$ ，故 $AB\perp BC$ ．

(2)连接 $CD$ ，由(1)可知 $AD\perp$ 平面 $A_1BC$ ，则 $CD$ 是 $AC$ 在平面 $A_1BC$ 内的射影，

所以 $\angle ACD$ 即为直线 $AC$ 与平面 $A_1BC$ 所成的角，

因为直线 $AC$ 与平面 $A_1BC$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{1}{2}$ ，则 $\angle ACD =\dfrac{\pi}{6}$ ，

在等腰直角 $\triangle A_1AB$ 中， $AA_1=AB=2$ ，且点 $D$ 是 $A_1B$ 中点，

$\therefore AD=\dfrac{1}{2}A_1B=\sqrt{2}$ 且 $\angle ADC=\dfrac{\pi}{2}$ ， $\angle ACD=\dfrac{\pi}{6}$ ，

$\therefore AG=2\sqrt{2}$ ，过点 $A$ 作 $AE \perp A_1C$ 于点 $E$ ，连接 $DE$ ，

由(1)知 $AD \perp$ 平面 $A_1BC$ ，则 $AD\perp A_1C$ ，且 $AE \cap AD=A$

$∴ \angle AED$ 即为二面角 $A-A_1C-B$ 的一个平面角．

且 $Rt\triangle A_1AC$ 中， $AE=\dfrac{A_1A \cdot AC}{A_1C}=\dfrac{2 \times 2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$ ，

又 $AD=\sqrt{2}$ ， $\angle ADC=\dfrac{\pi}{2}$

$∴\sin \angle AED=\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{\sqrt{2}}{\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，且二面角 $A-A_1C-B$ 为锐二面角，

$∴\angle AED=\dfrac{\pi}{3}$ ，即二面角 $A-A_1C-B$ 的大小为 $\dfrac{\pi}{3}$ ．

方法三空间向量法

向量法求空间中的面面角

使用情景：空间中面面角的求法
解题步骤：

第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标；
第二步然后求出两个平面的法向量；
第三步再利用 $\cos \theta=\left|\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right|$ 即可得出结论.
【例1】如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA\perp$ 底面 $ABCD$ ， $BC\perp PB$ ， $\triangle BCD$ 为等边三角形， $PA=BD=\sqrt{3}$ ， $AB=AD$ ， $E$ 为 $PC$ 的中点．

41-4.png

（1）求 $AB$ ；

（2）求平面 $BDE$ 与平面 $ABP$ 所成二面角的正弦值．

【解析】

（1）连接 $AC$ , 因为 $PA⊥$ 底面 $ABCD$ ， $BC \subset$ 平面 $ABCD$ ，所以 $PA⊥BC$ ，

又因为 $PB⊥BC$ ， $PA \cap PB =P$ ，

所以 $BC⊥$ 底面 $PAB$ ，

因为 $AB \subset$ 平面 $PAB$ ，

所以 $AB⊥BC$ ，

因为 $△BCD$ 为等边三角形，

所以 $∠ABD＝30°$ ．

又已知 $AB＝AD$ ， $BD＝\sqrt{3}$ ，

可得 $AB＝1$ ．
（Ⅱ）分别以 $BC$ ， $BA$ 所在直线为 $x$ ， $y$ 轴，过 $B$ 且平行 $PA$ 的直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系．

则 $P(0，1，\sqrt{3})$ ， $C(\sqrt{3}，0，0)$ ， $E\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}，\dfrac{1}{2}，\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$ ， $D\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}，\dfrac{3}{2}，0 \right)$ ．

由题意可知平面 $PAB$ 的法向量为 $\vec{m}＝(1，0，0)$ ．

设平面 $BDE$ 的法向量为 $\vec{n}＝(x，y，z)$ ，

则 $\begin{cases}\vec{n}\cdot \overrightarrow{BE}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BD}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}\dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{1}{2}y+\dfrac{\sqrt{3}}{2}z=0 \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+\dfrac{3}{2}y=0\end{cases}$ 则 $n＝(3，－\sqrt{3}，－2)$ ．

$\cos <\vec{m}，\vec{n}>＝\dfrac{3\times 1 -\sqrt{3}\times 0-2\times 0}{\sqrt{3^2+(-\sqrt{3})^2+(-2)^2}}＝\dfrac{3}{4}$ ．

所以平面 $BDE$ 与平面 $ABP$ 所成二面角的正弦值 $\dfrac{\sqrt{7}}{4}$ ．

【总结】本题主要考查了线面垂直的判定定理与性质定理、空间向量求立体几何问题、推理论证能力、空间想象能力和推理论证能力，考查学生综合应用知识的能力和应变能力，属综合题.其解题过程中最容易出现以下错误：

其一是不能准确找出线线关系，尤其是线线垂直、线面垂直的关系，进而不能正确地求出所得的结果；

其二是对于第二问不能正确地运用空间向量求立体几何问题，进而导致失误.

【例2】、如图, 已知矩形 $ABCD$ 所在平面垂直于直角梯形 $ABPE$ 所在平面, 平面 $ABCD \cap$ 平面 $ABPE=AB$ ，且 $AB=BP=2$ ， $AD=AE=1$ ， $AE\perp AB$ ，且 $AE \parallel BP$ . 求二面角 $D-PE-A$ 的余弦值.

【解析】

以 $A$ 为原点， $AE$ ， $AB$ ， $AD$ 所在直线分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴建立坐标系，

$\because AD \perp$ 平面 $PEA$

$\therefore$ 平面 $PEA$ 的法向量 $\vec{n_1}=\overrightarrow{AD}=(0,0,1)$ ，另外 $D(0,0,1)$ ， $E(1,0,0)$ ， $P(2,2,0)$ ，

$\therefore \overrightarrow{DE}=(1,0,-1)$ ， $\overrightarrow{DP}=(2,2,-1)$

设平面 $DPE$ 的法向量 $\vec{n_2}=(x,y,z)$ ，则 $\begin{cases}x-z=0 \\ 2x+2y-z=0\end{cases}$ ，令 $x=1$ ，得 $\vec{n_2}=\left(1,-\dfrac{1}{2},1\right)$
$\therefore \cos <\vec{n_1},\vec{n_2}>=\dfrac{2}{3}$ ，

又 $D-PE-A$ 为锐二面角,所以二面角 $D-PE-A$ 的余弦值为 $\dfrac{2}{3}$ .
【总结】：本题考查平面与平面垂直的证明，属中档题．解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用向量法进行解题．

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“巧构”二面角

方法一定义法

方法二射影法

方法三空间向量法

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