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立体几何复盘：如何解答二面角问题

立体几何复盘：如何解答二面角问题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-10 23:33 被阅读0次

高考大题中的二面角问题

求二面角的大小（或者正弦值、余弦值）是立体几何大题中常用的问题. 解答这类问题通常有以下三种方法：

（1）直接根据二面角的平面角完成计算；

（2）投影法：根据投影的面积计算二面角的余弦；

（3）向量法：根据两个面的法向量计算；

2017年理数全国卷A题18

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD，且 \angle BAP= \angle CDP=90°.
（1）证明∶平面 PAB \perp平面 PAD;
（2）若 PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°，求二面角 A-PB -C 的余弦值.

2017年理数全国卷A

【破解攻略】

注意：\triangle PAB 是等腰直角三角形， \triangle PBC 是正三角形；

作 PB 中点 M, 则 \angle AMC 是二面角 A-PB -C 的平面角；

利用余弦定理，可以轻松地求出这个角的余弦值.

参考答案：2017年全国卷A题18

2018年理数全国卷C题19

如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD上异于 C,D 的点.
（1）证明∶平面 AMD \perp 平面 BMC;
（2）当三棱锥 M-ABC 体积最大时，求面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值.

2018年理数全国卷C

【破解攻略】

此题难度较低，用平面角解答即可.

参考答案：2018年理数全国卷C题19

四面体：2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB=BC=2 \sqrt{2}，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点.
（1）证明∶PO \perp 平面 ABC;
（2）若点 M 在棱 BC上，且二面角 M-PA-C 为 30°，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷B

参考答案：2018年理数全国卷B题20

【破解攻略】

此题可以用向量法，也可以用几何法.

几何法需要作辅助线：连接 BO, 记 BO, AM 的交点为 Q；取 PA 中点 N, 并作 OG \perp PA.

本题的几何模型在高考中出现多次，一定要熟悉它的特点：\triangle PAC 是正三角形， \triangle ABC 是等腰直角三角形；

\triangle POA, \triangle POB, \triangle POC 是三个全等的直角三角形.

投影面积法

2004年文数全国卷C题21

三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC 与底面 ABC垂直，PA=PB=PC=3.
（Ⅰ）求证 AB \perp BC;
（Ⅱ）如果 AB=BC=2 \sqrt{3}，求侧面 PBC 与侧面 PAC 所成二面角的大小.

2004年文数全国卷

【破解攻略】

此题可以用投影法，也可以用平面角法解答.

注意这个模型在高考中出现了多次.

参考答案：2004年文科数学全国卷C题21

2007年理数海南卷题18

如图，在三棱锥 S-ABC 中，侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形，\angle BAC=90°，O 为 BC 的中点.
（Ⅰ）证明∶SO \perp 平面 ABC;
（Ⅱ）求二面角 A-SC-B 的余弦值.

2007年理数海南卷题

【破解攻略】

参考答案：2007年理数海南卷题18

2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D 是棱 AA_1 的中点. DC_1 \perp BD.
（Ⅰ）证明∶ DC_1 \perp BC;
（Ⅱ）求二面角 A1-BD-C_1 的大小.

2012年理数全国卷

提示：二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题：2004年文数全国卷三题21.

参考答案：2012年理数题19

【破解攻略】

此题可以用向量法，也可以用投影法.

相比之下，投影法简洁优雅，计算量小.

2019年理数全国卷A题18

如图，直四棱柱 ABCD-A_1B_1C_1D_1 的底面是菱形，AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60° ，E，M，N 分别是 BC,BB_1,A_1D 的中点.
（1）证明∶MN// 平面 C_1DE ;
（2）求二面角 A-MA_1-N 的正弦值.

2019年理数全国卷A

【破解攻略】

2019年的这个大题与2012年大题相似；可以用投影法解答；当然，也可以用向量法解答.

参考答案：2019年理数全国卷A题18

2011年理数全国卷题18

如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，\angle DAB=60°,AB=2 AD，PD \perp 底面 ABCD.
（I）证明∶PA \perp BD;
（Ⅱ）若 PD =AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值.

2011年理数全国卷

【破解攻略】

此题可以用投影法破解.

二面角 A-PB-C 可以拆分成两部分：A-PB-D, D-PB-C.

D-PB-C 是一个直二面角，所以只要求出 A-PB-D 的正弦值即可.

\triangle PBD 是 \triangle PBA 的投影，算出这两个三角形的面积比，则此题得解.

参考答案：2011年理科数学全国卷题18

2017年理数全国卷C题19

如图，四面体 ABCD 中，\triangle ABC 是正三角形，\triangle ACD 是直角三角形，\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.
（1）证明∶平面 ACD \perp 平面 ABC;
（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角 D-AE-C 的余弦值.

2017年理数全国卷C

【破解攻略】

对于此题，多数教辅书都只提供向量解法；其实，此题用投影法解答也是可以的.

平时多做一题多解的训练，考场上就有更多主动权.

详情请看：2017年理数全国卷C题19

适用用向量法解答的考题

2020年理数全国卷A题18

如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE=AD. \triangle ABC 是底面的内接正三角形，P 为 DO 上一点，PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO.
（1）证明∶PA \perp 平面 PBC;
（2）求二面角 B-PC-E 的余弦值.

2020年全国卷A

【破解攻略】

这个题既可以用向量法，也可以用求平面角的方法解答.

用向量法的关键在于：PA,PB,PC 两两垂直，可以用于建立直角坐标系.

用几何法解答的关键在于：PC 是待求二面角的棱；

平面 PAB 与 PC 垂直.

向量法解答：2020年全国卷A题18

几何法解答：2020年全国卷A题18

2018年理数全国卷A题18

如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把 \triangle DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF \perp BF.
（1）证明∶平面 PEF \perp平面ABFD;
（2）求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

2019年理数全国卷C题19

图1是由矩形 ADEB，Rt \triangle ABC和菱形 BFGC 组成的一个平面图形，其中 AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°. 将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF重合，连接 DG，如图2.
（1）证明∶图2中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC \perp平面 BCGE;
（2）求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小.

2019年理数全国卷C

【破解攻略】

这是一个比较考验空间想象力的考题.

用向量法或者求平面角的方法解答，其实都是可以的.

参考答案：2019年理数全国卷C题19

2020年全国卷B题20

如图，已知三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 的底面是正三角形，侧面 BB_1C_1C 是矩形，M,N 分别为 BC，B_1C_1 的中点，P 为AM 上一点，过 B_1C_1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC于 F.
（1）证明∶AA_1 // MN , 且平面 A_1AMN \perp 平面 EB_1C_1F;
（2）设 O 为 \triangle A_1B_1C_1 的中心. 若AO // 平面 EB_1C_1F ,且 AO=AB，求直线 B_1E 与平面 A_1AMN 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

参考答案：2020年全国卷B题20

【破解攻略】

2014年理数全国卷A题19

如图，三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，侧面 BB_1C_1C 为菱形，AB \perp B_1C.
（Ⅰ）证明∶AC=AB_1 ；
（Ⅱ）若 AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, AB=BC ，求二面角 A-A_1B_1-C_1 的余弦值.

2014年理数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2014年理数卷A题19

2020年全国卷C题19

如图，在长方体 ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，点 E,F 分别在棱 DD_1, BB_1 上，且 2DE=ED_1，BF=2FB_1.
（1）证明∶点 C_1 在平面 AEF 内;
（2）若 AB=2，AD=1，AA_1=3，求二面角 A-EF-A_1的正弦值.

2020年全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2020年全国卷C题19

2011年理科数学北京卷题16

如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA \perp 平 面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB=2, \angle BAD=60°.
（Ⅰ）求证∶BD \perp平面 PAC;
（Ⅱ）若 PA=AB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值;
（Ⅲ）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长.

2011年理科数学北京卷

【破解攻略】

2017年理数全国卷B题19

如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°，E 是 PD 的中点.
（1）证明∶直线 CE //平面 PAB;
（2）点 M 在棱 PC上，且直线 BM与底面ABCD 所成角为 45°，求二面角 M-AB-D的余弦值.

2017年理数全国卷B

参考答案：2017年理数全国卷B题19

【破解攻略】

2016年理数全国卷A题18

如图，在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF =2FD，\angle AFD= 90°，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°.
（I）证明∶平面 ABEF \perp平面 EFDC;
（Ⅱ）求二面角 E-BC-A 的余弦值.

2016年理数全国卷A

参考答案：2016年理数全国卷A题18

【破解攻略】

2013年理数全国卷B题18

如图，直三棱柱 ABC-A_1B_1C_1 中，D,E 分别是 AB,BB_1 的中点，AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.
（I）证明∶BC_1//平面 A_1CD;
（Ⅱ）求二面角 D-A_1C-E 的正弦值.

2013年理数全国卷B

参考答案：2013年理数全国卷B题18

【破解攻略】

2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB=5,AC =6，点 E,F 分别在 AD,CD 上，AE=CF= \dfrac {5}{4}，EF 交 BD于点 H. 将 \triangle DEF 沿 EF 折到 \triangle D'EF 的位置，OD'= \sqrt{10}.
（I）证明∶D'H \perp平面 ABCD;
（Ⅱ）求二面角 B-D'A-C的正弦值.

2016年理数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2016年理数全国卷B题19

2012年理数北京卷题16

如图1，在 Rt \triangle ABC 中，\angle C=90°, BC=3, AC=6，D,E 分别是 AC,AB 上的点，且 DE//BC，DE=2. 将 \triangle ADE 沿 DE 折起到 \triangle A_1DE 的位置，使 A_1C \perp CD，如图2.
（Ⅰ）求证∶A_1C \perp平面 BCDE;
（Ⅱ）若 M 是 A,D 的中点，求 CM与平面 A_1BE 所成角的大小;
（Ⅲ）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A_1DP 与平面 A_1BE 垂直？说明理由.

2012年理科数学北京卷

【破解攻略】

参考答案：2012年理数北京卷题16

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