立体几何复盘：如何解答二面角问题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-10 23:33 被阅读0次

高考大题中的二面角问题

求二面角的大小（或者正弦值、余弦值）是立体几何大题中常用的问题. 解答这类问题通常有以下三种方法：

（1）直接根据二面角的平面角完成计算；

（2）投影法：根据投影的面积计算二面角的余弦；

（3）向量法：根据两个面的法向量计算；

2017年理数全国卷A题18

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$
（1）证明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;
（2）若 $PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°$ ，求二面角 $A-PB -C$ 的余弦值.

2017年理数全国卷A

【破解攻略】

注意： $\triangle PAB$ 是等腰直角三角形， $\triangle PBC$ 是正三角形；

作 $PB$ 中点 $M$ , 则 $\angle AMC$ 是二面角 $A-PB -C$ 的平面角；

利用余弦定理，可以轻松地求出这个角的余弦值.

参考答案：2017年全国卷A题18

2018年理数全国卷C题19

如图，边长为 2 的正方形 $ABCD$ 所在的平面与半圆弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上异于 $C,D$ 的点.
（1）证明∶平面 $AMD \perp$ 平面 $BMC$ ;
（2）当三棱锥 $M-ABC$ 体积最大时，求面 $MAB$ 与面 $MCD$ 所成二面角的正弦值.

2018年理数全国卷C

【破解攻略】

此题难度较低，用平面角解答即可.

参考答案：2018年理数全国卷C题19

四面体：2018年理数全国卷B题20

如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 为 $AC$ 的中点.
（1）证明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）若点 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M-PA-C$ 为 $30°$ ，求 $PC$ 与平面 $PAM$ 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷B

参考答案：2018年理数全国卷B题20

【破解攻略】

此题可以用向量法，也可以用几何法.

几何法需要作辅助线：连接 $BO$ , 记 $BO, AM$ 的交点为 $Q$ ；取 $PA$ 中点 $N$ , 并作 $OG \perp PA$ .

本题的几何模型在高考中出现多次，一定要熟悉它的特点： $\triangle PAC$ 是正三角形， $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；

$\triangle POA, \triangle POB, \triangle POC$ 是三个全等的直角三角形.

投影面积法

2004年文数全国卷C题21

三棱锥 $P-ABC$ 中，侧面 $PAC$ 与底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3.$
（Ⅰ）求证 $AB \perp BC$ ;
（Ⅱ）如果 $AB=BC=2 \sqrt{3}$ ，求侧面 $PBC$ 与侧面 $PAC$ 所成二面角的大小.

2004年文数全国卷

【破解攻略】

此题可以用投影法，也可以用平面角法解答.

注意这个模型在高考中出现了多次.

参考答案：2004年文科数学全国卷C题21

2007年理数海南卷题18

如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，侧面 $SAB$ 与侧面 $SAC$ 均为等边三角形， $\angle BAC=90°$ ， $O$ 为 $BC$ 的中点.
（Ⅰ）证明∶ $SO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $A-SC-B$ 的余弦值.

2007年理数海南卷题

【破解攻略】

参考答案：2007年理数海南卷题18

2012年理数全国卷题19

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中点. $DC_1 \perp BD.$
（Ⅰ）证明∶ $DC_1 \perp BC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $A1-BD-C_1$ 的大小.

2012年理数全国卷

提示：二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题：2004年文数全国卷三题21.

参考答案：2012年理数题19

【破解攻略】

此题可以用向量法，也可以用投影法.

相比之下，投影法简洁优雅，计算量小.

2019年理数全国卷A题18

如图，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分别是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中点.
（1）证明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;
（2）求二面角 $A-MA_1-N$ 的正弦值.

2019年理数全国卷A

【破解攻略】

2019年的这个大题与2012年大题相似；可以用投影法解答；当然，也可以用向量法解答.

参考答案：2019年理数全国卷A题18

2011年理数全国卷题18

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为平行四边形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$
（I）证明∶ $PA \perp BD$ ;
（Ⅱ）若 $PD =AD$ ，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值.

2011年理数全国卷

【破解攻略】

此题可以用投影法破解.

二面角 $A-PB-C$ 可以拆分成两部分： $A-PB-D, D-PB-C$ .

$D-PB-C$ 是一个直二面角，所以只要求出 $A-PB-D$ 的正弦值即可.

$\triangle PBD$ 是 $\triangle PBA$ 的投影，算出这两个三角形的面积比，则此题得解.

参考答案：2011年理科数学全国卷题18

2017年理数全国卷C题19

如图，四面体 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $\triangle ACD$ 是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.$
（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）过 $AC$ 的平面交 $BD$ 于点 $E$ ，若平面 $AEC$ 把四面体 $ABCD$ 分成体积相等的两部分，求二面角 $D-AE-C$ 的余弦值.

2017年理数全国卷C

【破解攻略】

对于此题，多数教辅书都只提供向量解法；其实，此题用投影法解答也是可以的.

平时多做一题多解的训练，考场上就有更多主动权.

详情请看：2017年理数全国卷C题19

适用用向量法解答的考题

2020年理数全国卷A题18

如图， $D$ 为圆锥的顶点， $O$ 是圆锥底面的圆心， $AE$ 为底面直径， $AE=AD$ . $\triangle ABC$ 是底面的内接正三角形， $P$ 为 $DO$ 上一点， $PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO$ .
（1）证明∶ $PA \perp$ 平面 $PBC$ ;
（2）求二面角 $B-PC-E$ 的余弦值.

2020年全国卷A

【破解攻略】

这个题既可以用向量法，也可以用求平面角的方法解答.

用向量法的关键在于： $PA,PB,PC$ 两两垂直，可以用于建立直角坐标系.

用几何法解答的关键在于： $PC$ 是待求二面角的棱；

平面 $PAB$ 与 $PC$ 垂直.

向量法解答：2020年全国卷A题18

几何法解答：2020年全国卷A题18

2018年理数全国卷A题18

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形， $E，F$ 分别为 $AD，BC$ 的中点，以 $DF$ 为折痕把 $\triangle DFC$ 折起，使点 $C$ 到达点 $P$ 的位置，且 $PF \perp BF$ .
（1）证明∶平面 $PEF \perp$ 平面 $ABFD$ ;
（2）求 $DP$ 与平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

2018年理数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解

参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解

2019年理数全国卷C题19

图1是由矩形 $ADEB，Rt \triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 组成的一个平面图形，其中 $AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°.$ 将其沿 $AB，BC$ 折起使得 $BE$ 与 $BF$ 重合，连接 $DG$ ，如图2.
（1）证明∶图2中的 $A，C，G，D$ 四点共面，且平面 $ABC \perp$ 平面 $BCGE$ ;
（2）求图 2 中的二面角 $B-CG-A$ 的大小.

2019年理数全国卷C

【破解攻略】

这是一个比较考验空间想象力的考题.

用向量法或者求平面角的方法解答，其实都是可以的.

参考答案：2019年理数全国卷C题19

2020年全国卷B题20

如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形， $M,N$ 分别为 $BC，B_1C_1$ 的中点， $P$ 为 $AM$ 上一点，过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ .
（1）证明∶ $AA_1 // MN$ , 且平面 $A_1AMN \perp$ 平面 $EB_1C_1F$ ;
（2）设 $O$ 为 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心. 若 $AO$ // 平面 $EB_1C_1F$ ,且 $AO=AB$ ，求直线 $B_1E$ 与平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值.

2020年全国卷B

参考答案：2020年全国卷B题20

【破解攻略】

2014年理数全国卷A题19

如图，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，侧面 $BB_1C_1C$ 为菱形， $AB \perp B_1C$ .
（Ⅰ）证明∶ $AC=AB_1$ ；
（Ⅱ）若 $AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, AB=BC$ ，求二面角 $A-A_1B_1-C_1$ 的余弦值.

2014年理数全国卷A

【破解攻略】

参考答案：2014年理数卷A题19

2020年全国卷C题19

如图，在长方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，点 $E,F$ 分别在棱 $DD_1, BB_1$ 上，且 $2DE=ED_1，BF=2FB_1.$
（1）证明∶点 $C_1$ 在平面 $AEF$ 内;
（2）若 $AB=2，AD=1，AA_1=3$ ，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值.

2020年全国卷C

【破解攻略】

参考答案：2020年全国卷C题19

2011年理科数学北京卷题16

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中， $PA \perp$ 平面 $ABCD$ ，底面 $ABCD$ 是菱形， $AB=2, \angle BAD=60°.$
（Ⅰ）求证∶ $BD \perp$ 平面 $PAC$ ;
（Ⅱ）若 $PA=AB$ ，求 $PB$ 与 $AC$ 所成角的余弦值;
（Ⅲ）当平面 $PBC$ 与平面 $PDC$ 垂直时，求 $PA$ 的长.

2011年理科数学北京卷

【破解攻略】

2017年理数全国卷B题19

如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°$ ， $E$ 是 $PD$ 的中点.
（1）证明∶直线 $CE$ //平面 $PAB$ ;
（2）点 $M$ 在棱 $PC$ 上，且直线 $BM$ 与底面 $ABCD$ 所成角为 $45°$ ，求二面角 $M-AB-D$ 的余弦值.

2017年理数全国卷B

参考答案：2017年理数全国卷B题19

【破解攻略】

2016年理数全国卷A题18

如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形， $AF =2FD$ ， $\angle AFD= 90°$ ，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$
（I）证明∶平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值.

2016年理数全国卷A

参考答案：2016年理数全国卷A题18

【破解攻略】

2013年理数全国卷B题18

如图，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分别是 $AB,BB_1$ 的中点， $AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.$
（I）证明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;
（Ⅱ）求二面角 $D-A_1C-E$ 的正弦值.

2013年理数全国卷B

参考答案：2013年理数全国卷B题18

【破解攻略】

2016年理数全国卷B题19

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，点 $E,F$ 分别在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于点 $H$ . 将 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$
（I）证明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;
（Ⅱ）求二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值.

2016年理数全国卷B

【破解攻略】

参考答案：2016年理数全国卷B题19

2012年理数北京卷题16

如图1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 将 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如图2.
（Ⅰ）求证∶ $A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ ;
（Ⅱ）若 $M$ 是 $A,D$ 的中点，求 $CM$ 与平面 $A_1BE$ 所成角的大小;
（Ⅲ）线段 $BC$ 上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_1DP$ 与平面 $A_1BE$ 垂直？说明理由.