微积分学习笔记-数值积分

梯型法

---

为逼近, 用
.
各y是f在分点
的函数值，其中.

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例1. 使用n = 4时的梯型法估计, 比较估计值和精确值.

x和y值如下:

序号	x	y
0	1	1
1	1.25	1.5625
2	1.5	2.25
3	1.75	3.0625
4	2	4

我们有
积分精确值是:

两者相对误差为0.446%
梯形法用程序实现比较方便, C++实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;
double integrate(std::function<double(double)> f, double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n, sum = 0, x = a;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        x = a + i * h;
        if (i == 0 || i == n) sum += f(x);
        else sum += 2 * f(x);
    }
    return sum * h / 2;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    auto f = [](double x) { return x * x; };
    cout << integrate(f, 1, 2, 4) << endl;
    return 0;
}

梯形法的误差估计

如果连续且M是的值在上的一个上界，则
, 其中.

例2. 用n=10步长时的体形法估计时带来的误差的上界。

对于和



.
则
.

Simpson法

---

为逼近, 用
.
各y是f在分点
.

---

Simpson法的误差估计

---

若连续，而M是在[a, b] 上的一个上界, 则
.
其中h = (b - a) / n.

---

例4 用n = 4时的Simpson逼近, 并计算误差。

序号	x	y
0	0	0
1	0.5	0.3125
2	1	5
3	1.5	25.3125
4	2	80

则


则

用C++实现Simpson法的代码如下：

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
double integrate(std::function<double(double)> f, double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n, sum = 0, x = a;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        x = a + i * h;
        if (i == 0 || i == n) sum += f(x);
        else sum += (i % 2 ? 4 : 2) * f(x);
    }
    return sum * h / 3;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    auto f = [](double x) { return 5 * pow(x, 4); };
    cout << integrate(f, 0, 2, 4) << endl;
    return 0;
}

例5 比较梯形法和Simpton法逼近

ln2可以由公式 计算，分别用梯形法和Simpton法计算。
用C++代码计算方法如下:

#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
enum IntegrateMethod {
    Trapezoid,
    Simpton
};
double integrate(std::function<double(double)> f, double a, double b, int n, IntegrateMethod method) {
    double h = (b - a) / n, sum = 0, x = a;
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        x = a + i * h;
        if (i == 0 || i == n) sum += f(x);
        else {
            if (method == Simpton) {
                sum += (i % 2 ? 4 : 2) * f(x);
            } else {
                sum += 2 * f(x);
            }
        }
    }
    return sum * h / (method == Simpton ? 3 : 2);
}
 
int main(int argc, const char * argv[]) {
    auto f = [](double x) { return 1 / x; };
    cout << integrate(f, 1, 2, 100, Trapezoid) << endl;
    cout << integrate(f, 1, 2, 100, Simpton) << endl;
    return 0;
}