罗德里格旋转公式

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-06-14 12:21 被阅读0次

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一般我们要将四元数表示为旋转矩阵的时候，用的就是这个方法
这里简单描述一下
本文参考链接

微信截图_20220516115842.png
重新详细推一遍加深印象
其中向量

v

是原始向量，向量

v_{rot}

是旋转后的向量，旋转轴是

k

,且 $k$ 为单位向量，旋转角度为

\theta

,问题是如何求解旋转矩阵

R

如上图所示.首先对 $V$ 做正交分解,
$v=v_{||}+v_{\perp}$
有根据点积的投影原理
$v_{||}=(v\cdot k)k$
通过做减法
$v_{\perp}=v-v_{||}=v-(v\cdot k)k$
通过外积找到垂直于 $v$ 和 $k$ 所在平面的法向量 $w$
于是
$w=k\times v_{\perp}=k\times (v-v_{||})=k\times v$ ----(注：因为 $k$ 和 $v_{||}$ 平行，外积为0)
这里我们检验一下 $w$ 的向量长度 $w=k\times v_{\perp}$
它的具体数值= $|k|\cdot | v_{\perp}|\cdot sin(\pi/2)= |k|\cdot | v_{\perp}|$
又因为 $k$ 为单位向量，所以 $|w|= | v_{\perp}|$

接下来要找的是 $v_{\perp}$ 旋转 $\theta$ 之后的 $v_{rot\perp }$
$v_{rot\perp }$ 我们不知道如何表示，但是我们对 $v_{rot\perp }$ 分别作向量 $w$ 和向量 $v_{\perp}$ 的垂线 ,如下图，
1.首先旋转不改变 $v_{\perp}$ 的长度，所以向量 $|v_{rot\perp }| =|v_{\perp }|$ 的
2.根据对称性原则， $v_{rot\perp }$ 在 $v_{\perp }$ 上的投影长度等价于 $v_{\perp }$ 在 $v_{rot\perp }$ 上的投影长度
， $v_{rot\perp }$ 在 $w$ 上的投影长度等价于 $w$ 在 $v_{rot\perp }$ 上的投影长度
换言之， $v_{rot\perp }$ 可以由向量 $w$ 和 $v_{\perp }$ 进行线性组合表示
我们直接写结论了
$v_{rot\perp } =cos(\theta)v_{\perp }+sin(\theta)w=cos(\theta)(v-(v\cdot k)k)+sin(\theta)(k\times v)$

image.png
于是最终的

v_{rot}=v_{rot\perp }+v_{||}

=cos\theta(v-(v\cdot k)k)+sin\theta(k\times v)+(v\cdot k)k

=cos\theta\cdot v+(1-cos\theta)(v\cdot k)k+sin\theta (k\times v)

图形学里面，一般我们会把上面的一长串用一个矩阵表示
即 $v_{rot}=Rv$
假设转轴 $k=\begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}$ 旋转向量 $v=\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}$

要将上面的等式写成矩阵，有两个部分需要注意分解 $(v\cdot k)k$ 和 $(k\times v)$
其中 $(v\cdot k)k=(k_xv_x+k_yv_y+k_zv_z)\begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}(k_xv_x+k_yv_y+k_zv_z)k_x\\(k_xv_x+k_yv_y+k_zv_z)k_y\\(k_xv_x+k_yv_y+k_zv_z)k_z\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}k_xk_x&k_xk_y&k_xk_z\\k_yk_x&k_yk_y&k_yk_z\\k_zk_x&k_zk_y&k_zk_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}\cdot v$

而 $(k\times v)$ 可以将 $k\times$ 写成反对称矩阵的形式
$(k\times v)=\begin{bmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{bmatrix}\cdot v$

于是上面的等式
$v_{rot}=v_{rot\perp }+v_{||}$
$=cos\theta(v-(v\cdot k)k)+sin\theta(k\times v)+(v\cdot k)k$
$=cos\theta\cdot v+(1-cos\theta)(v\cdot k)k+sin\theta (k\times v)$
$=cos\theta\cdot I \cdot v+(1-cos\theta)\cdot \begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}\cdot v+sin\theta \cdot \begin{bmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{bmatrix}\cdot v$
$=\Big(cos\theta\cdot I+(1-cos\theta)\cdot \begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}+sin\theta \cdot \begin{bmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{bmatrix}\Big)\cdot v$

所以矩阵 $R=cos\theta\cdot I+(1-cos\theta)\cdot \begin{bmatrix}k_x\\k_y\\k_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_x&k_y&k_z\end{bmatrix}+sin\theta \cdot \begin{bmatrix}0&-k_z&k_y\\k_z&0&-k_x\\-k_y&k_x&0\end{bmatrix}$
$=cos\theta\cdot I+(1-cos\theta)\cdot kk^T+sin\theta \cdot k\times$

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