基本不等式法解圆锥曲线中的最值和范围问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-05-18 08:41 被阅读0次

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解题步骤：

第一步将所求最值的量用变量表示出来，
第二步用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.

【例】已知椭圆 $M:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3}=1(a>0)$ ：的一个焦点为 $F(-1,0)$ ，左右顶点分别为 $A$ ， $B$ . 经过点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C$ ， $D$ 两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线 $l$ 的倾斜角为 $45^\circ$ 时，求线段 $CD$ 的长；
（Ⅲ）记 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ABC$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$ ，求 $|S_1-S_2|$ 的最大值.

【解析】

（I）因为 $F(-1,0)$ 为椭圆的焦点，所以 $c=1$ ，

又 $b^2=3$ ，所以 $a^2=4$ ，

所以椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$ .

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为 $45^\circ$ ，所以直线的斜率为 $1$ ，

所以直线方程为 $y=x+1$ ，和椭圆方程联立得到

$\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 \\y=x+1 \end{cases}$ ，消掉 $y$ ，得到 $7x^2+8x-8=0$ ，

所以 $\Delta=288$ ， $x_1+x_2=-\dfrac{8}{7}$ ， $x_1 x_2=\dfrac{8}{7}$ ，

所以 $|CD|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\dfrac{24}{7}$

（Ⅲ）当直线 $l$ 无斜率时，直线方程为 $x=-1$ ，

此时 $D\left(-1,\dfrac{3}{2}\right)$ ， $C\left(-1,-\dfrac{3}{2}\right)$ ，

$\triangle ABD$ ， $\triangle ABC$ 面积相等， $|S_1-S_2|=0$

当直线 $l$ 斜率存在（显然 $k \neq 0$ ）时，设直线方程为 $y=k(x+1)(k \neq 0)$ ，

设 $C(x_1,y_1)$ ， $D(x_2,y_2)$ ，

和椭圆方程联立得到 $\begin{cases}\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1 \\y=k(x+1) \end{cases}$ ，

消掉 $y$ ，得到 $(3+3k^2)x^2+8k^2x-12=0$ ，

显然 $\Delta >0$ ，方程有根，

且 $x_1+x_2=-\dfrac{8k^2}{3+4k^2}$ ， $x_1x_2=-\dfrac{4k^2-12}{3+4k^2}$

此时 $|S_1-S_2|=2||y_2|-|y_1||=2|k(x_2+1)+k(x_1+1)|$
$=2|k(x_2+x_1)+2k|=\dfrac{12|k|}{3+3k}$ ，
因为 $k\neq 0$ ，
$上式=\dfrac{12}{\dfrac{3}{|k|}+4|k|} \leqslant \dfrac{12}{2\sqrt{\dfrac{3}{|k|} \cdot 4|k|}}=\dfrac{12}{2\sqrt{12}}=\sqrt{3}$ ，（ $k=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 时等号成立），
所以的最大值为 $\sqrt{3}$ ．

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