基本不等式法解圆锥曲线中的最值和范围问题

方法四 基本不等式法

基本不等式法解圆锥曲线中的最值和范围问题

解题步骤：

第一步 将所求最值的量用变量表示出来，
第二步 用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.

【例】已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，. 经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.

【解析】

（I）因为为椭圆的焦点，所以，

又，所以，

所以椭圆方程为.

（Ⅱ）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，

所以直线方程为，和椭圆方程联立得到

，消掉，得到，

所以，，，

所以

（Ⅲ）当直线无斜率时，直线方程为，

此时，，

，面积相等，

当直线斜率存在（显然）时，设直线方程为，

设，，

和椭圆方程联立得到，

消掉，得到，

显然，方程有根，

且，

此时
，
因为，
，（时等号成立），
所以的最大值为．