统计学（71）-相关性分析

1、方差到协方差，再从协方差到线性相关系数

（1）已知变量x 和y, 现在想了解x和y的相关性(x和y均为连续变量，默认没有异常值存在，即偏离平均值较大的数据）

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首先，绘制x和y关系的散点图。不难看出，二者存在一定的相关性，总的来说，随着x的增大， y也随之增
（2）如何来定量描述二者的相关大小呢？ image.png
这四个象限图:
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总结：
如果两个变量呈正相关(y随着x的增大而增大），那么大多数数据应该位于1、3象限中；如果两个变量呈负相关(y随着x的增大而减小），那么大多数数据应该位于2、4象限中；如果两个变量没有什么关系，那么4个象限中的数据应该差不多。
（3）x和y怎样才能称之为正相关呢？
如果1、3象限中的点越多，则越说明x和y可能呈正相关。
（4）怎样从数据中体现出1、3象限中的点呢？
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如果上述公式算出来的，大多数是正数，就说明1、3象限中的点比较多。
（5）怎样数正数的个数呢？ image.png

（6）计算方法的劣势
该值与离均差平方和有一个共同的缺点，即数据越多，该值可能越大，不利于不同数据之间的相互比较。
因此，我们将其除以例数，就可以消除例数的影响。最终形成的指标就是协方差(Covariance)：

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事实上，协方差跟方差是一回事，如果你把公式中的y都换成x, 就变成了x的方差。因此，方差可以看作协方差的特例，自己对自己的关系就是方差。

2、协方差的劣势

（1）利用协方差比较不同数据之间的相关性大小还存在一个致命问题，那就是度量单位的问题。试想，如果把表1中的x和y各扩大10倍，那么二者的关系并没有发生改变，但协方差值却会增大几百倍。这说明协方差不利于度量单位不同的数据之间的比较。
因此，我们想到了标准化：

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通过标准化，使得不同度量单位的数据均变换为以0为均数、以1为标准差的值，这样就可以直接比较数据大小了。
（2）数据标准化后的协方差

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线性相关系数的计算公式，就不难理解其含义了。其实它就是将协方差与数据标准化结合在一起的一个公式。 image.png
这个公式难道不是标准化后x和y相乘之和吗？是否没有除以自由度？