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一道利用立方和差的水题

一道利用立方和差的水题

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-09-30 08:54 被阅读0次

今天在群里看到有人问这题，感觉也是每年都会问的题目，于是记录一下

x_n=\dfrac{2^3-1}{2^3+1}\cdot\dfrac{3^3-1}{3^3+1}\cdots\dfrac{n^3-1}{n^3+1}\;\;(n=2,3,\cdots)
求\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.

Sol:
有
n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)
n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)
\dfrac{(n-1)^3-1}{(n-1)^3+1}\cdot\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=\dfrac{(n-2)(n^2-n+1)}{n(n^2-3n+3)}\cdot\dfrac{(n-1)(n^2+n+1)}{(n+1)(n^2-n+1)}
x_n=\dfrac{2}{3}\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)}
\displaystyle\therefore \lim_{n\to\infty}x_n=\dfrac23

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