三门问题又被称为蒙提霍尔问题。它是一个著名的博弈论悖论。
以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述,来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》(Parade Magazine)玛丽莲·沃斯·莎凡特(Marilyn vos Savant)专栏的信件:
假设你正在参加一个游戏节目,你被要求在三扇门中选择一扇:其中一扇后面有一辆车;其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门,假设是一号门,然后知道门后面有什么的主持人,开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你:“你想选择二号门吗?”转换你的选择对你来说是一种优势吗?
有一个对三门问题的解读非常精妙。原文在此:
https://www.jianshu.com/writer#/notebooks/48629613/notes/80584852
游戏1.有三个盒子,一个盒子里有钻石,其它两个什么都没有。你先选了一个盒子,放在你的书包里。主持人把另外两个放在他的书包里。这时候问你,要不要用你的书包换主持人的书包?
分析:你的书包只有一个盒子,主持人的书包有两个,很显然,主持人的书包里有钻石的可能性更大。所以应该选择换!
游戏2.有三个盒子,一个盒子里有钻石,其它两个什么都没有。你先选了一个盒子,放在你的书包里。主持人把另外两个放在他的书包里。然后主持人从他的书包里扔掉一个没有钻石的盒子。这时候问你,要不要用你的书包换主持人的书包?
分析:主持人从他的书包里扔掉一个没有钻石的盒子,这个行为并不会改变书包里有钻石的概率。所以既然游戏1要换,那么游戏2同样要换。
游戏3.有三个盒子,一个盒子里有钻石,其它两个什么都没有。你先选了一个盒子。然后主持人从另外两个盒子中扔掉一个没有钻石的盒子。这时候问你,要不要用你的盒子换剩下的那个盒子?
分析:游戏2相对于游戏3,唯一的不同是增加了“书包”这个概念,但其实有没有把盒子装入书包,并不会对结论产生影响,本质上游戏3和游戏2是同一个游戏。所以游戏3同样要换。
而游戏3就是题目中所描述的蒙提霍尔问题。因此结论只有一个字:换。
逻辑上看上去很严密,但是这是一个聪明人也要掉进去的陷阱。究其原因,是因为没有注意到系统已经改变了。
我们借用三盒子装钻石的设定。
在游戏的第一步,参与者选择好盒子亦或没有选择,对于该概率系统没有任何影响。钻石处于三个盒子的概率都是1/3,假定三个盒子看作是 标记的态,那么现在钻石态可以描述为:
现在来到第二步,主持人拿掉一个没有钻石的盒子。注意,此时统计系统已经变了。此时相当于我们做了一次改变系统的观测,排除了一个不可能的状态,假如被排除。此时的钻石态是:
对于参与者而言,无论他手里的是 还是
号盒子,其打开盒子获得钻石的概率都是1/2。 所以与主持人交换并没有获得任何优势。
之所以上面的最初的回答,包括在电影<决胜21点>中的回答,都认为换的概率比不换的概率大1/3,是因为认为系统没有改变。
这是典型的经典思维而非严格的概率统计思维。
实际上那个所谓额外获得的概率,其实已经被主持人证明概率等于零。所以实质上额外获得的不是1/3的概率,而是0,也就是没有任何优势。
三门问题实际上是一个心理问题,它的最大作用是观察人在选择之后的对获得期待的反映。实际上,大约90%的人都拒绝在选择之后与主持人交换。90%!这才是有意义的数字,也是这个实验的真正重要的意义。
这说明,90%的人们会偏爱自己已经做出的选择,并对它抱有更多的期待。
这种人群的行为心理是可以被利用的,比如在投资市场看穿不同投资者的投资心理。
这点我们以后再谈,也许不再谈,毕竟这是动人奶酪的问题。
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