直方图均衡化

直方图均衡化的介绍

直方图均衡化是一种简单有效的图像增强技术，通过改变图像的直方图来改变图像中各像素的灰度，主要用于增强动态范围偏小的图像的对比度。原始图像由于其灰度分布可能集中在较窄的区间，造成图像不够清晰。例如，过曝光图像的灰度级集中在高亮度范围内，而曝光不足将使图像灰度级集中在低亮度范围内。采用直方图均衡化，可以把原始图像的直方图变换为均匀分布（均衡）的形式，这样就增加了像素之间灰度值差别的动态范围，从而达到增强图像整体对比度的效果。换言之，直方图均衡化的基本原理是：对在图像中像素个数多的灰度值（即对画面起主要作用的灰度值）进行展宽，而对像素个数少的灰度值（即对画面不起主要作用的灰度值）进行归并，从而增大对比度，使图像清晰，达到增强的目的。举个例子，如图1所示，左图为原始图像，右图为直方图均衡化后的图像。

直方图的概念

对一幅灰度图像，其直方图反映了该图像中不同灰度级出现的统计情况。图2给出了一个直方图的示例，其中图(a)是一幅图像，其灰度直方图可表示为图(b)，其中横轴表示图像的各灰度级，纵轴表示图像中各灰度级像素的个数。（需要注意，灰度直方图表示了在图像中各个单独灰度级的分布，而图像对比度则取决于相邻近像素之间灰度级的关系。）

严格地说，图像的灰度直方图是一个一维的离散函数，可写成：

式中，是图像中灰度级为的像素的个数。直方图的每一列（称为bin）的高度对应。直方图提供了原图中各种灰度值分布的情况，也可以说直方图给出了一幅图像所有灰度值的整体描述。直方图的均值和方差也是图像灰度的均值和方差。图像的视觉效果与其直方图有对应关系，或者说，直方图的形状和改变对图像有很大的影响。

在直方图的基础上，进一步定义归一化的直方图为灰度级出现的相对频率。即：

式中，表示图像的像素的总数，是图像中灰度级为的像素的个数。

直方图均衡化的理论基础

为讨论方便起见，以 r 和 s 分别表示归一化了的原图像灰度和经直方图均衡化后的图像灰度（因为归一化了，所以 r 和 s 的取值在0到1之间）。当 r = s = 0时，表示黑色；当 r = s = 1时，表示白色；当 r, s ∈(0, 1)时，表示像素灰度在黑白之间变化。（所谓直方图均衡化，其实是根据直方图对像素点的灰度值进行变换，属于点操作范围。换言之，即：已知r，求其对应的s。）

在 [0,1] 区间内的任何一个 r ，经变换函数 T(r) 都可以产生一个对应的 s ，且

式中，T(r) 应当满足以下两个条件：

在 0 ≤ r ≤ 1 内，T(r) 为单调递增函数；（此条件保证了均衡化后图像的灰度级从黑到白的次序不变）

在 0 ≤ r ≤ 1 内有 0 ≤ T(r) ≤ 1。（此条件保证了均衡化后图像的像素灰度值在允许的范围内）

公式3的逆变换关系为：

式中， 对 s 同样满足上述的两个条件。

由概率论可知，如果已知随机变量 r 的概率密度是 ，而随机变量 s 是 r 的函数，则 s 的概率密度可以由求出。假定随机变量 s 的分布函数用表示，根据分布函数的定义有

又因为概率密度函数是分布函数的导数，因此上述公式两边对 s 求导可得：

从上述公式可以看出，通过变换函数 T(r) 可以控制图像灰度级的概率密度函数，从而改善图像的灰度层次，这就是直方图均衡化的理论基础。

又有：从人眼视觉特性来考虑，一幅图像的灰度直方图如果是均匀分布的，那么该图像看上去效果比较好（参考冈萨雷斯数字图像处理3.3节）。因此要做直方图均衡化，这里的应当是均匀分布的概率密度函数。

由概率论知识可知，对于区间 [a,b]上的均匀分布，其概率密度函数等于。 如果原图像没有进行归一化，即, 那么，归一化之后，所以这里的。

由概率密度公式可以知道，又因为，所以有。对这个式子两边积分得：

上式就是我们所求的变换函数。它表明当变换函数是原图像直方图的累积分布概率时，能达到直方图均衡化的目的。

对于灰度级为离散的数字图像，用频率来代替概率，则变换函数的离散形式可以表示为：

式中, （注：这里的，表示归一化后的灰度级；k表示归一化前的灰度级）。由上述公式可以知道，均衡化后各像素的灰度级可直接由原图像的直方图算出来。需要说明的是，这里的也是归一化后的灰度级，其值在 0 到 1 之间；有时需要将其乘以再取整，使其灰度级范围在 0 到 L-1之间，与原图像一致。

直方图均衡化的缺点

如果一幅图像整体偏暗或者偏亮，那么直方图均衡化的方法很适用。但直方图均衡化是一种全局处理方式，它对处理的数据不加选择，可能会增加背景干扰信息的对比度并且降低有用信号的对比度（如果图像某些区域对比度很好，而另一些区域对比度不好，那采用直方图均衡化就不一定适用）。此外，均衡化后图像的灰度级减少，某些细节将会消失；某些图像（如直方图有高峰），经过均衡化后对比度不自然的过分增强。针对直方图均衡化的缺点，已经有局部的直方图均衡化方法出现。

摘自：https://blog.csdn.net/qq_15971883/article/details/88699218