对于公式2）可由二项式展开叠加求和：
因为， （n＋1）𠆢3－n𠆢3＝3·n𠆢2＋3n＋1
n𠆢3－（n－1）𠆢3＝3·（n－1）𠆢2＋3（n－1）＋1
⋯ ⋯ ⋯
＋） 2𠆢3－1𠆢3 ＝3·1𠆢2＋3·1＋1
一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一
（n＋1）𠆢3－1𠆢3＝3Sn＋3·1/2·n（n＋1）＋n
所以，整理得：Sn＝1/6·n（n＋1）（2n十1）
同样公式3）可由4次二项式依次裂项，然后相加，并用公式1）、2）的结果求得Sn＝［1/2·n（n十1）］𠆢2
下面介绍公式3）的另一种有趣的列举推导方法：如下列数表
1 ️ 2
1 1 2 （1＋2）𠆢2＝1＋8＝1𠆢3＋2𠆢3
2 2 4
1 2 3
1 1 2 3
2 2 4 6
3 3 6 9 （1＋2＋3）𠆢2＝1＋8＋27＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
4 4 8 12 16 （1＋2＋3＋4）𠆢2＝1＋8＋27＋64＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋4𠆢3
同样我们可以得到（1＋2＋3＋4＋5）𠆢2＝1＋8＋27＋64＋125＝1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋4𠆢3＋5𠆢3
因此，我们可以推断出：1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋⋯＋n𠆢3＝（1＋2＋3＋⋯＋n）𠆢2＝［1/2·n（n＋1）］𠆢2
例题：用公式2）、3）证明
i）1𠆢2＋3𠆢2＋5𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）
ii）1𠆢3＋3𠆢3＋5𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（n＋1）𠆢2·（2·n𠆢2＋4n＋1）
因为，1𠆢2＋2𠆢2＋3𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（4n＋3） （1）
2𠆢2＋4𠆢2＋6𠆢2＋⋯＋（2n）𠆢2＝2/3·n（n＋1）（2n＋1） （2）
（1）－（2）得：
1𠆢2＋3𠆢2＋5𠆢2＋⋯＋（2n＋1）𠆢2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）
同样，1𠆢3＋2𠆢3＋3𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（2n＋1）𠆢2·（n＋1）𠆢2 （1）
2𠆢3＋4𠆢3＋6𠆢3＋⋯＋（2n）𠆢3＝2·n𠆢2·（n＋1）𠆢2 （2）
（1）－（2）得：
1𠆢3＋3𠆢3＋5𠆢3＋⋯＋（2n＋1）𠆢3＝（n＋1）𠆢2·（2·n𠆢2＋4n＋1），证毕。
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