设计矩阵与R
第一个例子：
我们想知道mutant小鼠和control小鼠在大小上是否有统计学意义上的差别。我们分别做了这两种小鼠的回归曲线
Type <- factor(c(
rep("Control", times=4),
rep("Mutant", times=4)))
Weight <- c(2.4, 3.5, 4.4, 4.9, 1.7, 2.8, 3.2, 3.9)
Size <- c(1.9, 3, 2.9, 3.7, 2.8, 3.3, 3.9, 4.8)
#矩阵的第1列乘以control的截距
#第2列代表的数据乘以mutant与control的差值
#第3列乘以slope
> model.matrix(~Type+Weight)
(Intercept) TypeMutant Weight
1 1 0 2.4
2 1 0 3.5
3 1 0 4.4
4 1 0 4.9
5 1 1 1.7
6 1 1 2.8
7 1 1 3.2
8 1 1 3.9
attr(,"assign")
[1] 0 1 2
attr(,"contrasts")
attr(,"contrasts")$Type
[1] "contr.treatment"
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model <- lm(Size~Type + Weight)
> summary(model)
Call:
lm(formula = Size ~ Type + Weight)
#与拟合曲线的残差
Residuals:
1 2 3 4 5 6 7 8
0.05455 0.34562 -0.41623 0.01607 -0.01753 -0.32646 -0.02062 0.36461
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.08052 0.52744 0.153 0.88463
TypeMutant 1.48685 0.26023 5.714 0.00230 **
Weight 0.73539 0.13194 5.574 0.00256 **
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.3275 on 5 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8975, Adjusted R-squared: 0.8564
#F值与p值，这个p值是fancy model 与 simple model对比后的p值，反应了
F-statistic: 21.88 on 2 and 5 DF, p-value: 0.003367
simple model ，只考虑大小
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simple model ，现在我们即考虑大小又考虑种类，但是忽略老鼠的体重
image-20210109122742676.png
simple model ，现在我们即考虑大小有考虑体重，但是忽略老鼠的种类
image-20210109122836940.png
结果中Weight这个变量的p值为0.00256，它表示的是，如果在这个复杂模型（fancy model）中剔除Weight这个变量，构建成的简单模型（simpler model）与原始数据的拟合效果。它反映的是一个复杂模型的统计效果和只用常规t检验的统计效果的比较（p值小于0.05，说明前者的统计效果更好）。换句话讲，它反映了复杂模型中剔除了Weight这个变量后，使用最小二乘法进行的检验与原复杂模型检验的比较，由于p值很小，这就说明了Weight这个变量的重要性。
同理，TypeMutant这个变量对应的p值为0.00230，它反映的是原复杂方程（fancy model）与该方程剔除小鼠种类这个变量后的比较（剔除了小鼠类型的这个变量，就变成了普通线性回归方程）。由于p值很小，这就说明了种类这个变量的重要性。
第二个例子：批次效应
Lab A为一个实验，Lab B重复它，但是测量结果全部变小了。我们希望结合这两个数据集，看看mutant是否与control不同，但我们需要进行消除“批次效应”
image-20210109124332045.png
Lab <- factor(c(rep("A",times=6),rep("B",times=6)))
Type <- factor(c(rep("Control", times = 3),rep("Mutant", times = 3),rep("Control", times = 3),rep("Mutant", times = 3)))
Expression <- c(1.7, 2, 2.2,3.1, 3.6, 3.9, 0.9, 1.2, 1.9, 1.8, 2.2, 2.9)
#第1列乘以labA control mean
#第2列乘以labB offset
#第3列乘以difference
> model.matrix(~Lab+Type)
(Intercept) LabB TypeMutant
1 1 0 0
2 1 0 0
3 1 0 0
4 1 0 1
5 1 0 1
6 1 0 1
7 1 1 0
8 1 1 0
9 1 1 0
10 1 1 1
11 1 1 1
12 1 1 1
attr(,"assign")
[1] 0 1 2
attr(,"contrasts")
attr(,"contrasts")$Lab
[1] "contr.treatment"
attr(,"contrasts")$Type
[1] "contr.treatment"
batch.lm <- lm(Expression ~ Lab + Type)
> summary(batch.lm)
Call:
lm(formula = Expression ~ Lab + Type)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-0.6500 -0.2833 -0.0500 0.2750 0.7167
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.1167 0.2279 9.287 6.6e-06 ***
LabB -0.9333 0.2632 -3.546 0.006250 **
TypeMutant 1.2667 0.2632 4.813 0.000956 ***
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 0.4558 on 9 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7989, Adjusted R-squared: 0.7542
F-statistic: 17.87 on 2 and 9 DF, p-value: 0.0007342
这个结果跟先前多元回归的结果类似，最后一部分就是F以及调整后的R平方，它的p值为0.0007342，但是这个p值不是我们所需要的，这个p值代表的是复杂方程与一个简单方程（也就是下图中y = overall mean）的统计学差异，这个p值是不能用于判断mutant和control差异的。
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我们再看一下TypeMutant这个变量对应的p值，这个p值是0.000956，这个才是我们所需要的p值，它表示的是，我们去掉difference(mutant - control)这个变量后，我们是否还能拟合出一条好的曲线（我个人理解就是：原假设就是去掉`TypeMutant后，剩下的数据能够拟合出一条好的曲线方程，但是结果却是p值小于0.05，是一个非常小的值，因此原假设不成立，也就是说这个变量不能去掉）
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