高阶线性方程
阶线性微分方程的一般形式为
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5E%7Bn-1%7Dx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5E%7Bn-1%7D%7D%2B%5Ccdots%2Ba_%7Bn%7D(t)x%3Df(t)%5Cquad(3.22))
这里假设系数 %2Ca_2(t)%2C%5Ccdots%2Ca_%7Bn%7D(t))
都在区间 ![[\alpha,\,\beta]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5B%5Calpha%2C%5C%2C%5Cbeta%5D)
上连续. 当 %5Cequiv0)
时方程（3.22）变为齐次线性微分方程
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5E%7Bn-1%7Dx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5E%7Bn-1%7D%7D%2B%5Ccdots%2Ba_%7Bn%7D(t)x%3D0%5Cquad(3.23))
若令
)
则方程（3.22）可以转换成一阶线性微分方程组
%5Cboldsymbol%7Bx%7D%2B%5Cboldsymbol%7Bf%7D(t)%5Cquad(3.25))
其中
%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%261%260%26%5Ccdots%260%5C%5C%5C%5C%200%260%261%26%5Ccdots%260%5C%5C%20%5Cvdots%26%5Cvdots%26%5Cvdots%26%26%5Cvdots%5C%5C%200%260%260%26%5Ccdots%261%5C%5C%5C%5C%20-a_%7Bn%7D(t)%26-a_%7Bn-1%7D(t)%26-a_%7Bn-2%7D(t)%26%5Ccdots%26a_1(t)%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)
%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%200%5C%5C%5C%5C%200%5C%5C%20%5Cvdots%5C%5C%200%5C%5C%5C%5C%20f(t)%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%5Cquad%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x_1%5C%5C%5C%5C%20x_2%5C%5C%20%5Cvdots%5C%5C%20x_%7Bn-1%7D%5C%5C%5C%5C%20x_n%20%5Cend%7Bpmatrix%7D.)
当 时，方程组（3.25）变为齐次线性微分方程组
%5Cboldsymbol%7Bx%7D.%5Cquad(3.26))
显然，由方程（3.22）的任一解 )
可得到方程组（3.25）的一个解
%5C%5C%5C%5C%20%5Cphi'(t)%5C%5C%20%5Cvdots%5C%5C%20%5Cphi%5E%7B(n-1)%7D(t)%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cquad(3.27))
反之，方程组（3.25）的任一解的第一个分量就是方程（3.22）的解. 特别地，方程（3.22）满足初值条件
%3Dx_0%2C%5C%3Bx'(t_0)%3Dx_0%5E1%2C%5C%3B%5Ccdots%2C%5C%3Bx_%7B(n-1)%7D%3Dx_%7B0%7D%5E%7Bn-1%7D)
的解在区间 上存在并且唯一.
例
考虑方程
%5Cquad(3.28))
它等价于方程组
%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%2C%5Cquad(3.29))
这里 %5ET.)
可以验证
%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Ccos%20t%26%5Csin%20t%5C%5C%5C%5C%20-%5Csin%20t%26%5Ccos%20t%20%5Cend%7Bpmatrix%7D)
为方程组（3.29）对应的齐次线性方程组的基解矩阵. 并且
%3D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Ccos%20t%26-%5Csin%20t%5C%5C%5C%5C%20%5Csin%20t%26%5Ccos%20t%5C%5C%20%5Cend%7Bpmatrix%7D.)
利用常数变易公式可得方程组（3.29）的通解为
![\displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{x}(t)=&\begin{pmatrix} x(t)\\\\ x'(t) \end{pmatrix}=\boldsymbol{X}(t)\left[\begin{pmatrix}c_1\\\\c_2\end{pmatrix}+\int_{t_0}^t\boldsymbol{X}^{-1}(\tau)\begin{pmatrix}0\\\\f(\tau)\end{pmatrix}\right]\text{d}\tau\\ =&\begin{pmatrix} \displaystyle c_1\cos(t)+c_2\sin(t)+\int_{t_0}^t\sin(t-\tau)f(\tau)\text{d}\tau\\ \displaystyle -c_1\sin(t)+c_2\cos(t)+\int_{t_0}^t\cos(t-\tau)f(\tau)\text{d}\tau \end{pmatrix} \end{aligned},](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cdisplaystyle%20%5Cbegin%7Baligned%7D%20%5Cboldsymbol%7Bx%7D(t)%3D%26%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20x(t)%5C%5C%5C%5C%20x'(t)%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%3D%5Cboldsymbol%7BX%7D(t)%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bpmatrix%7Dc_1%5C%5C%5C%5Cc_2%5Cend%7Bpmatrix%7D%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Cboldsymbol%7BX%7D%5E%7B-1%7D(%5Ctau)%5Cbegin%7Bpmatrix%7D0%5C%5C%5C%5Cf(%5Ctau)%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cright%5D%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5C%5C%20%3D%26%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cdisplaystyle%20c_1%5Ccos(t)%2Bc_2%5Csin(t)%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Csin(t-%5Ctau)f(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5C%5C%20%5Cdisplaystyle%20-c_1%5Csin(t)%2Bc_2%5Ccos(t)%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Ccos(t-%5Ctau)f(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cend%7Baligned%7D%2C)
因此方程（3.28）的通解为
%3Dc_1%5Ccos(t)%2Bc_2%5Csin(t)%2B%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Csin(t-%5Ctau)f(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%2C)
其中 
为任意常数.
由于 阶线性微分方程（3.22）利用上述转化方式可变换为与之等价的一阶线性微分方程组（3.25），因此我们可以把前几节的主要结果平行地推广到方程（3.22）. 与方程组（3.25）相对应的，假设函数 %2Cx_2(t)%2C%5Ccdots%2Cx_n(t))
是齐次线性微分方程（3.23）的 个解，我们称
%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x_1(t)%26%5Ccdots%26x_n(t)%5C%5C%5C%5C%20x_1'(t)%26%5Ccdots%26x_%7Bn%7D'(t)%5C%5C%20%5Cvdots%26%26%5Cvdots%5C%5C%20x_1%5E%7B(n-1)%7D(t)%26%5Ccdots%26x_%7Bn%7D%5E%7B(n-1)%7D(t)%5C%5C%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Cquad(3.30))
为解组 %3Ak%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn%5C%7D)
的 Wronski 行列式. 齐次线性微分方程（3.23）的 个线性无关的解的全体称为该方程的一个基本解组. 利用关系式（3.24），我们可以把关于方程组（3.26）的定理自然转述到高次方程（3.23）上.
定理 3.7
阶齐次线性微分方程（3.23）的解组 线性无关的充要条件是它的 Wronski 行列式 )
在区间 上恒不为零，而这等价于 在区间 的某点 
处不为零，并且方程（3.23）的任一解组 的 Wronski 行列式满足 Liouville 公式
%3DW(t_0)%5Cexp%5Cleft(-%5Cint_%7Bt_0%7D%5Eta_1(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5Cright)%5Cquad(3.32))
这里由于与方程（3.23）等价的方程组（3.26）中矩阵函数 )
的迹 %3D-a_1(t))
，因此由于关于方程组的 Liouville 公式（3.32），就可以求出方程（3.23）的通解.
例
设 )
是二阶齐次线性方程的
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7Dx%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%2Ba_2(t)x%3D0.%5Cquad(3.33))
的一个非零解，其中 )
和 )
是 上的连续函数，则方程（3.33）的通解为
%3Dx_1(t)%5Cleft(C_2%2BC_1%5Cint%5Cdfrac%7B1%7D%7Bx_1%5E2(t)%7De%5E%7B-%5Cint%20a_%7B1%7D(t)%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%5Ctext%7Bd%7Dt%5Cright)%5Cquad(3.34))
证明
为简便起见，假设 在区间 上恒不为零. 设 )
为方程（3.33）的任一解，则由 Liouville 公式（3.32）可得
%3D%5Cbegin%7Bvmatrix%7D%20x_1(t)%26x(t)%5C%5C%5C%5C%20x_%7B1%7D'(t)%26x'(t)%5C%5C%20%5Cend%7Bvmatrix%7D%3DC_1e%5E%7B-%5Cint%20a_1(t)%5Ctext%7Bd%7Dt%7D)
亦即
x_1(t)-x(t)x_1'(t)%3DC_1e%5E%7B-%5Cint%20a_1(t)%5Ctext%7Bd%7Dt%7D)
上式两端同乘以积分因子 %7D)
，可得
%7D%7Bx_1(t)%7D%5Cright)%3D%5Cdfrac%7BC_1%7D%7Bx_1%5E2(t)%7De%5E%7B-%5Cint%20a_1(t)%5Ctext%7Bd%7Dt%7D.)
积分上式，就可得公式（3.34）.
这个例子告诉我们一个利用 Liouville 公式降阶的方法. 一般地，如果事先能够知道齐次高阶方程（3.23）的一个非平凡解 ，即 %5Cnot%5Cequiv0)
，我们还可以用变量替换 y)
把方程化成关于函数 
的低一阶的齐次线性微分方程. 事实上，对这个变量替换求导并带入（3.23），可得到形如
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5Eny%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5En%7D%2Bb_1(t)%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5E%7Bn-1%7Dy%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5E%7Bn-1%7D%7D%2B%5Ccdots%2Bb_%7Bn-1%7D(t)%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7Dy%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%7D%2Bb_%7Bn%7D(t)y%3D0)
的方程，它一定有解 %5Cequiv1)
，因此 是方程（3.23）的解. 由此推出，%5Cequiv0)
，因此远方还曾可化为如下的 
阶线性微分方程
%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5E%7Bn-1%7Dv%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5E%7Bn-1%7D%7D%2Bb_1(t)%5Cdfrac%7B%5Ctext%7Bd%7D%5E%7Bn-2%7Dv%7D%7B%5Ctext%7Bd%7Dt%5E%7Bn-2%7D%7D%2B%5Ccdots%2Bb_%7Bn-1%7D(t)v%3D0.)
根据非齐次线性方程组（3.25）与非齐次线性高阶微分方程（3.22）的关系，我们把非齐次线性微分方程的常数变易公式应用到方程（3.22）上，容易得到下面的结果.
定理 3.8
设 是 阶齐次线性微分方程（3.23）在 上的一个基本解组，则非齐次线性微分方程（3.22）在 上的通解为
%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5EnC_kx_k(t)%2Bx%5E%7B*%7D(t)%5Cquad(3.35))
其中 
为任意常数，而
%3D%5Csum_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn%7D%5Cint_%7Bt_0%7D%5Et%5Cdfrac%7Bx_k(t)W_k(%5Ctau)%7D%7BW(%5Ctau)%7Df(%5Ctau)%5Ctext%7Bd%7D%5Ctau%5Cquad(3.36))
是方程（3.22）的一个特解， 是解组 的 Wronski 行列式， )
是 中第 行第 
列元素的代数余子式.
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