微分方程-线性方程-存在性与唯一性

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-13 09:13 被阅读0次

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线性方程-存在性与唯一性

考虑如下形式的微分方程

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})\quad(3.1)$

其中 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{f}\in\mathbb{R}^n$ . 若函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在某点 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 处有 Taylor 展开

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{R} (\boldsymbol{x})$

其中 $\lVert \boldsymbol{R}(\boldsymbol{x})\rVert$ 是 $\lVert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 的高阶无穷小（这里 $\lVert\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\rVert$ 是向量 $\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0$ 的范数）， $\boldsymbol{A}$ 为 $n\times n$ 阶矩阵，则在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的向量值函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 可以用其线性部分

$\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0)$

来逼近，因此人们自然地想到用如下形式的线性微分方程的解来逼近方程组（3.1）在 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_0$ 附近的解：

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}_0)+\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0).$

从这个意义上说，研究线性微分方程及线性微分方程组是进一步研究一般微分方程即微分方程组的基础.

考虑含 $n$ 个未知函数的一阶线性微分方程组

$\begin{cases} \dfrac{\text{d}x_1}{\text{d}t}=a_{11}(t)x+a_{12}(t)x_2+\cdots+a_{1n}(t)x_n+f_1(t)\\ \dfrac{\text{d}x_2}{\text{d}t}=a_{21}(t)x_1+a_{22}(t)x_2+\cdots+a_{2n}(t)x_n+f_2(t)\\ \cdots\cdots\\ \dfrac{\text{d}x_n}{\text{d}t}=a_{n1}(t)x_1+a_{n2}(t)x_2+\cdots+a_{nn}+f_n(t) \end{cases}\quad(3.2)$

其中已知函数 $a_{ij}(t),\,f_i(t)\,(i,j=1,2,\cdots,n)$ 都是区间 $[\alpha,\beta]$ 上的连续函数. 令

$\boldsymbol{A}(t)=\begin{pmatrix} a_{11}(t)&\cdots&a_{1n}(t)\\ a_{21}(t)&\cdots&a_{2n}(t)\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}(t)&\cdots&a_{nn}(t) \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{f}(t)= \begin{pmatrix} f_1(t)\\ f_2(t)\\ \vdots\\ f_n(t)\\ \end{pmatrix},$

$\boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix},$

则可以用矩阵记号把方程组（3.2）写为

$\dfrac{\text{d}\boldsymbol{x}}{\text{d}t}=\boldsymbol{A}(t)\boldsymbol{x}+\boldsymbol{f}(t)\quad(3.3)$

当 $\boldsymbol{f}(t)\equiv0$ 时，我们称方程组（3.3）是齐次的；否则，就是非齐次的.

对方程组（3.3），我们首先需要知道它满足给定的初值条件的解是否存在，如果存在是否唯一. 下面的存在唯一性定理回答了这一基本问题：

定理 3.1

假设 $\boldsymbol{A}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n\times n$ 阶连续矩阵函数， $\boldsymbol{f}(t)$ 是区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的 $n$ 维连续列向量函数. 则对于区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的任意实数 $t_0$ 及任意 $n$ 维常向量 $\boldsymbol{x}^0$ ，方程组（3.3）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上存在唯一解 $\boldsymbol{x}(t)$ 满足初值条件 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ .

这个结果不仅告诉我们初值问题解的存在性与唯一性，而且指出解的存在区间和已知函数连续的区间是一样大的.

为了理解和证明这个定理，我们需要了解矩阵函数的一些形式. 对矩阵函数的加法、乘法的定义与普通的常数矩阵相同. 称矩阵 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 是连续的（或可微的），如果其每一个元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都是实变量 $t$ 的连续函数（或可微函数）. 在可微的情形下，

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}\boldsymbol{A}(t)=\left(\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}a_{ij}(t)\right)$ .

矩阵函数的导数也满足

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(\boldsymbol{A}_1(t)+\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_1(t)}{\text{d}t}+\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_2(t)}{\text{d}t},$

$\dfrac{\text{d}}{\text{d}t}(\boldsymbol{A}_1(t)\boldsymbol{A}_2(t))=\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_1(t)}{\text{d}t}\boldsymbol{A}_2(t)+\boldsymbol{A}_1(t)\dfrac{\text{d}\boldsymbol{A}_2(t)}{\text{d}t}.$

如果矩阵 $\boldsymbol{A}(t)=(a_{ij}(t))$ 的每个元素 $a_{ij}(t)$ （其中 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ）都在 $t$ 的区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上可积，就称矩阵 $\boldsymbol{A}(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上可积，并且

$\displaystyle\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\text{d}t=\left(\int_\alpha^\beta a_{ij}(t)\text{d}t\right).$

为了讨论矩阵函数序列的收敛问题，对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及向量 $\boldsymbol{x}$ 我们引入其范数为

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{A}\rVert=\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|,$

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{x}\rVert=\sum_{i=1}^n|x_i|$

显然对任意 $n\times n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}_1,\,\boldsymbol{A}_2$ 及 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}_1,\,\boldsymbol{x}_2$ ，有如下性质：

$\lVert\boldsymbol{A}_1+\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\lVert\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{x}_1\rVert+\lVert\boldsymbol{x}_2\rVert,$

$\lVert\gamma\boldsymbol{A}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{A}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\gamma\boldsymbol{x}\rVert=|\gamma|\;\lVert\boldsymbol{x}\rVert,\quad\forall\;\gamma\in\mathbb{R}(or\;\;\mathbb{C})$

$\lVert\boldsymbol{A}_1\boldsymbol{A}_2\rVert\leqslant\lVert\boldsymbol{A}_1\rVert\,\lVert\boldsymbol{A}_2\rVert,$

$\displaystyle\left\lVert\int_\alpha^\beta\boldsymbol{A}(t)\text{d}t\right\rVert\leqslant\int_\alpha^\beta\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\text{d}t$

考虑 $n\times n$ 阶矩阵函数序列 $\{\boldsymbol{A}_k(t)\}$ ，其中 $\boldsymbol{A}_k(t)=(a_{ijj}^{(k)}(t))$ . 称它对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛），如果对任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ 函数序列 $\{a_{ij}^{(k)}(t)\}$ 对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛）. 同理，称矩阵函数项级数

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\boldsymbol{A}_k(t)$

对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 收敛（一致收敛），如果对任意的 $i,\,j=1,2,\cdots,n$ ，函数项级数

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{ij}^{(k)}(t)$

对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant \beta$ 收敛（一致收敛）.

定理 3.1 的证明

第一步

容易验证，方程组（3.3）关于 $\boldsymbol{x}(t_0)=\boldsymbol{x}^0$ 的初值问题等价于求积分方程

$\displaystyle\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau\quad(3.4)$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的连续解. 事实上，如果连续函数 $\boldsymbol{x}(t)$ 是积分方程（3.4）的解，由方程（3.4）右端立即看出 $\boldsymbol{x}(t)$ 也是可微的. 因此对方程（3.4）的两端关于 $y$ 求导可推出微分方程组（3.3）的形式. 方程（3.4）称为（3.3）的等价积分方程.

第二步

利用积分方程（3.4）构造向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ ，其中 $\boldsymbol{x}_0(t)\equiv\boldsymbol{x}_0$ ，且

$\displaystyle\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau\quad(3.5)$

这里 $k=1,2,\cdots$ 且 $t\in[\alpha,\,\beta].$ 容易归纳地证明，对任意正整数 $k$ ，向量函数 $\boldsymbol{x}_k(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的，它的极限函数 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续且满足等价积分方程（3.4）.

第三步

向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛. 为此只需证明向量函数级数

$\displaystyle\boldsymbol{x}_0(t)+\sum_{j=2}^{\infty}\left[\boldsymbol{x}_j(t)-x_{j-1}(t)\right],\;(\alpha\leqslant t\leqslant\beta)\quad(3.6)$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛，因为它的前 $k$ 项之和维 $\boldsymbol{x}_k(t).$

因为 $\boldsymbol{A}(t)$ 和 $\boldsymbol{f}(t)$ 都在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续，所以 $\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert$ 和 $\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert$ 都在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上有界，即存在大于零的常数 $M$ ，使得

$\lVert\boldsymbol{A}(t)\rVert\leqslant M,\quad\lVert\boldsymbol{f}(t)\rVert\leqslant M,\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

成立. 利用（3.5）可以归纳地证明在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上成立

$\lVert\boldsymbol{x}_j(t)-\boldsymbol{x}_{j-1}(t)\rVert\leqslant(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j\quad(3.7)$

证明 $j=1$ 的情形和假设 $j=m$ 成立时证明 $j=m+1$ 的情形的房费基本是一样的. 事实上，由（3.5）和归纳法假设，

$\begin{aligned} &\lVert\boldsymbol{x}_{m+1}(t)-\boldsymbol{x}_m(t)\rVert\\ \leqslant&\left|\int_{t_0}^t\lVert\boldsymbol{A}(\tau)\rVert\,\lVert\boldsymbol{x}_m(\tau)-\boldsymbol{x}_{m-1}(\tau)\rVert\text{d}\tau\right|\\ \leqslant&M(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^m}{m!}\left|\int_{t_0}^t|\tau-t_0|^m\text{d}\tau\right|\\ =&(\lVert\boldsymbol{x}^0\rVert+1)\dfrac{M^{m+1}}{(m+1)!}|t-t_0|^{m+1} \end{aligned}$

用比值判别法知级数

$\displaystyle\sum_{j=1}^{\infty}\dfrac{M^j}{j!}|t-t_0|^j$

在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的. 因此级数（3.6）在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛. 从而，向量函数序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上是一致收敛的.

第四步

根据收敛性，设

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}(t)$

由序列 $\{\boldsymbol{x}_k(t)\}$ 的连续性和一致收敛性，它的极限函数 $\boldsymbol{x}(t)$ 也在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续. 在（3.5）式两边令 $k\to\infty$ 取极限得到

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\boldsymbol{x}_k(t)=\boldsymbol{x}^0+\int_{t_0}^t\lim_{k\to\infty}(\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{x}_{k-1}(\tau)+\boldsymbol{f}(\tau))\text{d}\tau.$

即极限函数 $\boldsymbol{x}(\tau)$ 对所有的 $\alpha\leqslant t\leqslant\beta$ 都满足积分方程（3.4）.

第五步

证明积分方程（3.4）的连续解的唯一性. 设 $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 是在同一区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的积分方程（3.4）的另一个连续解. 容证明 $\boldsymbol{y}:=\boldsymbol{x}(t)=\tilde{\boldsymbol{x}}(t)$ 满足积分方程

$\displaystyle\boldsymbol{y}(t)=\int_{t_0}^t\boldsymbol{A}(\tau)\boldsymbol{y}(\tau)\text{d}\tau,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta$

由连续性，令 $L>0$ 为 $\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert$ 在有界闭区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一个上界. 和前面类似，可以可以归纳地证明对任意正整数 $k$ ,

$\displaystyle\lVert\boldsymbol{y}(t)\rVert\leqslant\dfrac{LM^k}{k!}|t-t_0|^k,\quad\alpha\leqslant t\leqslant\beta\quad(3.8)$

上面的不等式右端当 $k\to\infty$ 时趋于零，因此 $\boldsymbol{y}(t)\equiv0$ ，即在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上 $\tilde{\boldsymbol{x}}(t)\equiv\boldsymbol{x}(t)$ . 定理证毕.

在证明定理 3.1 时所采用的逐次逼近法时 Picard 给出的. Picard 逐次逼近法也是用来求方程近似解的一种方法.

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