定义法证明函数的单调性

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-06-26 10:32 被阅读0次

定义法证明函数的单调性
导数的应用
怎么利用导数求已知函数的单调区间？
2.函数的性质
函数的单调性
怎么确定函数零点的个数？
付可儿の4.27 导数入门
对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21
对数函数：2017年文数全国卷C题21
对数函数：2018年理数全国卷A题21

证明函数单调性的方法有：定义法（即比较法）和导数法。实际上，用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法，定义法是基本方法，常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。

求差比较证明步骤：
①取值：
设 $x_1$ ， $x_2$ 为该区间内任意的两个值，且 $x_1< x_2$ ；
②作差、变形：
作差 $f(x_1)-f(x_2)$ ，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；。
③定号：
确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；
④判断：
根据定义作出结论。

【例】：判断并证明： $f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$ 在 $(-\infty,0)$ 上的单调性．
证明：设 $x_1<x_2<0$ ,
$\begin{align}f(x_2)-f(x_1)&=\dfrac{1}{1+x_2^2}-\dfrac{1}{1+x_1^2}\\ &=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)}\\&=\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{(1+x_1^2)(1+x_2^2)} \end{align}$
$\because x_1-x_2<0,x_1+x_2<0,1+x_1^2>0,1+x_2^2>0$
$\therefore f(x_2)-f(x_1)>0$
$\therefore f(x_1)<f(x_2)$
$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0)$ 是增函数.

【注意】
①在用定义法证明单调性时，为了确定符号，一般是将 $f(x_1)-f(x_2)$ 尽量分解出 $x_1-x_2$ 因式，再将剩下的因式化成积商的形式，或化成几个非负实数的和等，这样有利于该因式的符号的确定.
②若要证明 $f(x)$ 在区间上不上单调函数，只要举出反例即可，即只要找到两个特殊的 $x_1$ ， $x_2$ 不满足定义即可。

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