对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-20 23:05 被阅读0次

对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21
对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21
对数函数：2017年文数全国卷C题21
指数函数：2012年文数全国卷题21
对数函数：2014年文数全国卷A题21
对数函数：2011年文数全国卷题21
指数函数：2017年文数全国卷B题21
对数函数：2015年文数全国卷B题21
对数函数：2018年理数全国卷A题21
指数函数：2013年文数全国卷A题20

对数函数：2016年文数全国卷C题21

设函数 $f(x)=\ln x -x +1$ .

（Ⅰ）讨论 $f(x)$ 的单调性;

（Ⅱ）证明当 $x \in (1,+\infty)$ 时， $1 \lt \dfrac {x-1}{\ln x} \lt x$ ;

（Ⅲ）设 $c \gt 1$ ，证明当 $x \in (0,1)$ 时， $1+(c-1)x \gt c^x$ .

【解答问题Ⅰ】

函数 $f(x)=\ln x -x +1$ 的定义域为 $(0,+\infty)$ .

$f'(x)= \dfrac {1}{x} -1$

$f'(1) = 0$

当 $0 \lt x \lt 1, f'(x) \gt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递增；

当 $x \gt 1, f'(x) \lt 0$ , 函数 $f(x)$ 单调递减；

当 $x=1$ , 函数取得最大值 $f(1)=0$ .

【解答问题Ⅱ】

根据问题Ⅰ 的结论可知：

当 $x \in (1,+\infty)$ 时，函数单调递减，所以

$f(x) \lt f(0)$

$\ln x - (x-1) \lt 0$

所以 $\ln x \lt (x-1)$

又因为 $x \gt 1 \Rightarrow \ln x \gt 0$ ,
所以 $1 \lt \dfrac{x-1}{\ln x}$

令 $g(x) = \ln x - (1- \dfrac {1}{x} )$

此函数的定义域为 $(0,+\infty)$ ,

$g'(x) = \dfrac {1}{x} - \dfrac {1}{x^2} = \dfrac {1}{x} (1- \dfrac {1}{x} )$

$g(1)=g'(1)=0$

当 $x \gt 1, g'(x) \gt 0$ ，函数 $g(x)$ 单调递增；

所以，当 $x \gt 1$ ， $\ln x - (1- \dfrac {1}{x} ) \gt 0$

$\dfrac {x-1}{x} \lt \ln x$

$\dfrac {x-1}{\ln x} \lt x$

综上可得：当 $x \in (1,+\infty)$ 时， $1 \lt \dfrac {x-1}{\ln x} \lt x$

【解答问题Ⅲ：证法一】

令 $g(x)= c^x - (c-1)x -1$

$g(0) = g(1) = 0$

$g'(x) = \ln c \cdot c^x - (c-1)$

$g'(0)=\ln c - (c-1)$

$g'(1)=c \cdot \ln c - (c-1)$

因为 $c \gt 1$ , 根据问题Ⅱ 的结论可得： $\ln c \lt c-1 \lt c \cdot \ln c$

∴ $g'(0) \lt 0,\; g'(1) \gt 0$

$g''(x)= (\ln c)^2 \cdot c^x$

$c \gt 1 \Rightarrow (\ln c)^2 \gt 0 \Rightarrow g''(x) \gt 0$ ,

所以， $g'(x)$ 单调递增.

因为 $g'(0) \lt 0,\; g'(1) \gt 0$

且 $g'(x)$ 在区间 $(0,1)$ 单调递增，所以，

存在 $x_0 \in (0,1)$ , 使得 $g'(x_0)=0$

对于 $x \in (0,x_0], g'(x) \lt 0, g(x) \lt g(0)$ , ∴ $g(x) \lt 0$ ;

对于 $x \in [x_0,1), g'(x) \gt 0, g(x) \lt g(1)$ , ∴ $g(x) \lt 0$ ;

综上可得：当 $x \in (0,1)$ 时， $c^x - (c-1)x -1 \lt 0$ , 也就是：

$1+(c-1)x \gt c^x$ . 证明完毕.

【解答问题Ⅲ：证法二】

从幂函数角度分析。

记 $h(c)= c^x - xc + x -1$

$x$ 为不变参数且 $x \in (0,1)$

$c$ 为变量且 $c \in (1,+\infty)$

显然， $h(1)=0$

$h'(c)=x \cdot c^{x-1} -x = x (c^{x-1} -1)$

$x \in (0,+\infty) \Rightarrow x-1 \lt 0$ ,

又∵ $c \gt 1$ , ∴ $(c^{x-1} -1) \lt 0, h'(c) \lt 0$

函数 $h(c)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递减，所以， $c^x - xc + x -1 \lt 0$ ,

$c^x \lt xc - x +1$ ,

$1+(c-1)x \gt c^x$ . 证明完毕.

【提炼与提高】

本题三问，考查内容较为全面，尤其是问题三，解法很有典型性。值得重视。

（1）利用导函数讨论函数的单调性，这是常规操作。

（2）在某些问题中，需要二次求导。如证明方法一所示，根据 $g''(x)$ 的正负性讨论 $g'(x)$ 的单调性。

（3）证法一的特色在于：根据 $g''(x)$ 的正负性判断 $g'(x)$ 的单调性和零点个数，从而将我们关注的区间分为两段。在两个区间中分别讨论，最后再整合结论，完成证明。

（4）证法二的特色在于：改变了看问题的角度。将 $c^x$ 看作是幂函数而不是指数函数。从上面的解答过程来看，证法二显得更简洁一些。对于多数中学生来说， $x$ 代表变量而 $c$ 代表常量。长期形成了这个习惯，要换过来并不容易。

$f(x) = c^x$ 是指数函数， $x$ 是变量， $c$ 是常量；其导函数 $f'(x) = \ln c \cdot c^x$

$f(c)=c^x$ 是幂函数， $x$ 是常量， $c$ 是变量；其导函数 $f'(c)=x \cdot c^{x-1}$

最后强调一下：题海战术不可取；一题多解效率高。

对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21
对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21 设函数 . （I）讨论的导函数零点的个数; （Ⅱ）证明∶...
对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21
对数函数：2016年文数全国卷C题21 设函数 . （Ⅰ）讨论的单调性; （Ⅱ）证明当时，; （Ⅲ）设 ...
对数函数：2017年文数全国卷C题21
对数函数：2017年文数全国卷C题21 已知函数 . （Ⅰ）讨论的单调性; （Ⅱ）当时，证明 . 【解答问...
指数函数：2012年文数全国卷题21
指数函数：2012年文数全国卷题21 设函数 . （Ⅰ ）求的单调区间; （Ⅱ）若，为整数，且当时，，...
对数函数：2014年文数全国卷A题21
对数函数：2014年文数全国卷A题21 设函数，曲线在点处的切线斜率为 . （Ⅰ）求 ; （Ⅱ）若存在 ...
对数函数：2011年文数全国卷题21
对数函数：2011年文数全国卷题21 已知函数，曲线在点处的切线方程为 . （Ⅰ）求，的值; （Ⅱ...
指数函数：2017年文数全国卷B题21
指数函数：2017年文数全国卷B题21 设函数 . （1）讨论的单调性; （2）当时，，求的取值范围....
对数函数：2015年文数全国卷B题21
对数函数：2015年文数全国卷B题21 已知函数 . （Ⅰ）讨论的单调性; （Ⅱ）当有最大值，且最大值大于...
对数函数：2018年理数全国卷A题21
对数函数：2018年理数全国卷A题21 已知函数（I）讨论的单调性；（Ⅱ）若存在两个极值点，证明∶...
指数函数：2013年文数全国卷A题20
指数函数：2013年文数全国卷A题20 已知函数，曲线在点处的切线方程为 . （Ⅰ）求，的值; （Ⅱ...

对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21

对数函数：2016年文数全国卷C题21

相关文章

对数函数与指数函数：2015年文数全国卷A题21

对数函数与指数函数：2016年文数全国卷C题21

对数函数：2017年文数全国卷C题21

指数函数：2012年文数全国卷题21

对数函数：2014年文数全国卷A题21

对数函数：2011年文数全国卷题21

指数函数：2017年文数全国卷B题21

对数函数：2015年文数全国卷B题21

对数函数：2018年理数全国卷A题21

指数函数：2013年文数全国卷A题20

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

高中数学纲目