行列式的计算方法

作者: 断臂残猿 | 来源:发表于2018-06-08 00:23 被阅读2456次

前面我们看到，二阶行列式的计算方法是“对角线法则”：

主对角线元素积与副对角线元素积的差

那么这个法则对其他的行列式适用吗？

三阶行列式二阶行列式的法则并不适用三阶行列式。三阶行列式的计算方法如下

三阶行列式的值

这个依然叫“对角线法则”，不过是复杂版的：主对角线乘完以后元素位置要平移一下继续相乘，直到x、y、z分别开过头以后，再分别减去x、y、z开头的副对角线乘积。

为了计算更高阶行列式，我们需要引入两个概念：全排列和逆序数。
全排列比较简单，我们在高中就学过：n个不同元素的不同排列法一共有

全排列在这些排列中，如果规定从小到大是标准次序，则每有两个元素不是标准次序就称为一个“逆序”。比如32514中，3在2前面，3在1前面，5在1前面，5在4前面，2在1前面。
逆序数就是排列中逆序的数目，用t表示，比如

逆序数逆序数没有计算方法，就是靠数出来的！每次看一个数，看前面有比它大的有几个。
如果逆序数是奇数，这个排列叫奇排列，否则叫偶排列。标准次序逆序是0，所以是偶排列。

n阶行列式的值

你可以自己验证一下二阶和三阶行列式也符合以上规律。

也可以用第一下标排列计算第一下标全排列
也可以同时计算第一下标和第二下标的逆序数同时排列
行列式等于其任意某行（或某列）的各元素与其对应代数余子式乘积之和。这里引入代数余子式概念：行列式的元素aij的代数余子式是把它所有行列的所有元素都删掉（变成了n-1阶）的行列式记为余子式，则代数余子式代数余子式