行列式的求导

在应用中，经常会碰到需要对某个矩阵的行列式进行求导的情况。而行列式的计算方法比较复杂，如果将它展开成后计算，会比较麻烦，因此最好直接记住一些结论。

本文以计算和为例，介绍如何对行列式求导，并希望大家可以记住结论。

首先，为防止大家线性代数的内容忘得差不多了，我们先以方阵（）为例，回顾一下与行列式有关的基本概念：

• minor（余子式，或者叫余因式）：是一个方阵，其中元素就是把原方阵去掉第行、第列之后再取行列式的值；
• cofactor（代数余子式）：；
• adjugate（伴随矩阵）：，即；

而方阵行列式，就可以用某一行（比如第行）的cofactor 的形式来表达（当然也可以用）：

另外，若是非奇异矩阵，则有

现在，再来看对的求导。对于的某个元素，将行列式写成的第行展开的形式，我们有

第二个等式是因为，对于任意的，在的计算中都是剔除了的，也即它和的变动没关系。

因此，我们有

如果非奇异，那么有

对于，利用链式法则，有