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行列式的求导

行列式的求导

作者: Boye0212 | 来源:发表于2021-04-19 17:09 被阅读0次

在应用中，经常会碰到需要对某个矩阵的行列式进行求导的情况。而行列式的计算方法比较复杂，如果将它展开成后计算，会比较麻烦，因此最好直接记住一些结论。

本文以计算\dfrac{\partial |A|}{\partial A}和\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A}为例，介绍如何对行列式求导，并希望大家可以记住结论。

首先，为防止大家线性代数的内容忘得差不多了，我们先以方阵A（n\times n）为例，回顾一下与行列式有关的基本概念：

  • minor（余子式，或者叫余因式）M：是一个n\times n方阵，其中元素M_{ij}就是把原方阵A去掉第i行、第j列之后再取行列式的值；
  • cofactor（代数余子式）C：C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}；
  • adjugate（伴随矩阵）A^*：A^*_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ji}，即A^*=C'；

而方阵A行列式，就可以用某一行（比如第i行）的cofactor C的形式来表达（当然也可以用A^*）：|A|=\sum_{j}A_{ij}C_{ij}

另外，若A是非奇异矩阵，则有
A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}=\dfrac{C'}{|A|}

现在，再来看对|A|的求导。对于A的某个元素A_{ij}，将行列式写成A的第i行展开的形式，我们有
\dfrac{\partial |A|}{\partial A_{ij}} = \dfrac{\partial \sum_{j}A_{ij}C_{ij}}{\partial A_{ij}}=C_{ij}
第二个等式是因为，对于任意的j，在C_{ij}的计算中都是剔除了A_{ij}的，也即它和A_{ij}的变动没关系。

因此，我们有
\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = C = (A^*)'

如果A非奇异，那么有
\dfrac{\partial |A|}{\partial A} = (|A|A^{-1})'= |A|(A^{-1})'

对于\ln |A|，利用链式法则，有
\dfrac{\partial \ln |A|}{\partial A} = \dfrac{1}{|A|} |A|(A^{-1})' = (A^{-1})'

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