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第 6 章 求解微分问题

第 6 章 求解微分问题

作者: 熊文鑫 | 来源:发表于2019-12-03 13:17 被阅读0次

Time: 2019-11-21
Title:第 6 章 求解微分问题

本章重点：
1.使用定义求导;
2.使用乘积法则、商法则和链式求导法则;
3.求切线方程;
4.速度和加速度;
5.求导数伪装的极限;
6.如何对分段函数求导;
7.使用一个函数图像来画出其导函数的图像

6.1 使用定义求导

1.导数的定义：f'(x)=\mathop{lim}\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

推论：多项式的导数:\frac{d}{dx}(x^a)=ax^{a-1}.

6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数

乘积法则 (版本 1) 如果 h(x) = f(x)g(x), 那么 h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

乘积法则 (版本 2) 如果 y = uv, 则\frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}

乘积法则 (三个变量) 如果 y = uvw, 那么\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}vw+u\frac{dv}{dx}w+uv\frac{dw}{dx}

6.2.4 通过商法则求商函数的导数

商法则 (版本 1) 如果 h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},那么h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

商法则 (版本 2) 如果y=\frac{u}{v},那么\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{du}{dx}v-u\frac{dv}{dx}}{v^2}

6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数

链式求导法则 (版本 1) 如果h(x) = f(g(x)); 那么 h'(x) = f'(g(x))g'(x)

链式求导法则 (版本 2) 如果 y 是 u 的函数, 并且 u 是 x 的函数, 那么\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}

6.3 求切线方程

(1) 求斜率, 通过求导函数并代入给定的 x 值;
(2) 求直线上的一点, 通过将给定的 x 值代入原始函数本身得到 y 坐标, 将坐标写在一起并称之为点 (x0, y0)
(3) 使用点斜式y-y0 = m (x - x0)来求方程

6.4 速度和加速度

6.5 导数伪装的极限

如果求解一个极限有困难, 那它或许是一个伪装的导数. 迹象就是, 虚拟变量本身在分母上, 并且分子是两个量的差.

许多极限都是伪装的导数, 而你的工作就是揭开它们的伪装.

6.6 分段函数的导数

注意分段点以及绝对值隐含的分段点。

6.7 直接画出导函数的图像

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