/76节：
现在我要解释自然数序列中每两个相邻项的相互关系。假定
存在一个概念F和处于它之下的这样一个对象x， 使得属于F这个概念的数是n，而属于‘处于F之下但是不等于x’ 这个概念的数是m
这个句子与
n在自然数序列中紧跟m
这个句子具有相同的意谓。
这里，x是随意的一个对象。但是考虑到这里具有两个数。第一个是属于概念F的数，也就是处于概念F之下的对象的数。还有一个是x是这些对象中的第几个。这个第几是一个数。这个数具有主观的随意性。
弗雷格在这一段里，n和m是前一种情况的数。但是再79节的情况中，后来谈到一个数跟着另一个数，是不是有所不同。
78节——节选:
通过 “n在自然数序列中紧跟m” 这个句子确定m和n的这种关系，是一种一一相应的关系。
在此还没有说，对每个数都存在另一个数，它在数序列中紧跟前者或者在数序列中紧跟它。
79节
为了能够证明，对自然数系列的每一个数（n）都有一个数紧跟，必须指出一个这后一个数所属于的概念。我们选择
“属于以n结束的自然数序列的项”
作为这个概念，首先必须对此进行解释。
/这个概念指出一个对象的集合中的项，属于这个概念的东西，就是一个数。英文比较清晰：
member of the series of natural nembers ending with n.
可见这里的概念不是形而上学的一种共相，比如红或数这样的概念，而是始终指出它们基于经验事物而言的东西。这个例子里，在指出项这个概念的同时，还指出了其经验中应用的规定，作为概念的定语指出的东西。这是一个理解弗雷格的“概念”这个概念的恰当的实例。只有在这个意义上，才可以就语言自身之内可以说，一个属于这个概念。
而在比如说对于一些苹果，说一个数属于苹果这个概念。在这里，苹果这个概念也应该是这样带有定语的情况。可以用刚才类似例子中的表达，member of ···。中文的项，其实就是单位。补充项，单位或概念的，是某个数这个对象。
那么，在弗雷格，指出一个数属于一个概念，构成的是什么？是一个思想，还是一个概念，或者一个对象？应该是一个思想。虽然我们在说这5苹果时，作为指称词组，它意谓对象。或者说是一个满足的表达式。是一种通过概念对于对象的定义。可以把指出一个数属于一个概念看作一个思想。然后把这5苹果这样的指称词组看作这个思想的指称词组化，是罗素的从指称词组到语词表达式的句子的逆过程。在这里，5苹果这样的短语，它是一个概念。但是数的这种应用，还是非经验的，就是说，它还是不满足的。而在弗雷格的意义上说一个数属于一个概念的情况，总是一种经验的思想，而非一个概念分析。而说到“给我5苹果”这样的句子，则有一种柏拉图的理念的味道。
并且，原文引号内这句话，“属于以n结束的自然数序列的项”,它以自然数的序列为对象。同时一个数属于这个数序列的项。
并且，弗雷格这里提到的自然数序列，开始于0这个数，而不是1这个数。
在前一节的末尾，有一句话旁证。
除0以外，每个数在自然数序列中都紧跟一个数。
属于这个概念的数是 n+1.
首先，我以一种稍有不同的方式重复我在<概念文字>中所综合的关于一系列推论的定义。
“如果x与之有φ关系的每个对象处于F这个概念之下，而且如果由d处于F这个概念之下普遍地得出，无论d是什么，d与之有φ关系的每个对象都处于F这个概念之下，那么y就处于F这个概念之下，无论F可能表示什么概念”
这个句子与
y在这个φ序列中跟着x
意谓相同。
/x与之有φ关系的每个对象处于F这个概念之下
这里的φ关系，就是前面提到的那种关系：通过 “n在自然数序列中紧跟m” 这个句子确定m和n的这种关系，是一种一一相应的关系。
只是这里的‘每个对象’费解。x与之有φ关系的对象，应该只是x-1。不对。这里关键在于对φ关系的解释。
x与之有φ关系的对象 这个概念，首先，x是一个数。然后，在这个关系中，这个数通过表示为紧跟一个自然数序列的尾数，由此与x处于φ关系中的东西，就是一个自然数序列。是一个序列而不是一个数。最后，x与之有φ关系的每个对象，指的是这个自然数序列中的每个数。
在这一步，没有指出x处于F这个概念之下。F这个概念，指的是前面那句：属于以n结束的自然数序列的项。这里的n，代入x。处于这个概念之下的是一个从0到x的自然数序列的所有项——所有的这些自然数。而属于这个概念的是一个数，这个数紧跟着x。可以把这个数看作x+1 这个数。但是弗雷格处于这样表达的话又要定义相加的概念，避免了这样说。而说紧跟在x之后的一个数。
这里，有意思的事，是一个以x结尾的自然数序列，属于‘这个序列的项’这个概念的数，正就是紧跟着x的一个数。由此，x就从作为一个自然数序列的结尾的项的一个数，基于一个有关x的概念，而思辨地得到紧跟x的一个数。在这里，作为一个自然数的序列的项是一个数，或者说处于‘这个序列的项’这个概念的对象是一些数，而属于‘这个序列的项’这个概念的，还是一个数，并且这个数就紧跟着x。
罗素在他关于数的谈论，基本就是根据弗雷格的这种思路说出来的。其逻辑的思想在弗雷格这里。
‘由d处于F这个概念之下普遍地得出，无论d是什么，d与之有φ关系的每个对象都处于F这个概念之下。’
d处于这个概念之下，可见d是处于F之下的对象。d和x的区别是，x指出了的是一系列的对象，而x是不是处于F之下，并没有提到。x作为和一系列对象总体发生关系的对象而被谈论。上一段力的前面那句话，可以看作对于处于F之下的某些对象的指出。但是，并不是处于F之下的全部对象的指出或定义。
而这里的这句话，指出的是如果d处于F之下，···。这就是说，d本身和F发生了关系，而不只是和d有φ关系的每个对象和F的关系的指出——处于F之下。这个小前提就补充了前面那句话里关于x自身和F的关系的指明。这样，d和d与之有φ关系的每个对象就一同作为处于F这个概念之下的对象了。这种情况正是弗雷格 在谈论一个自然数序列和其项的数，并且这个数就是紧跟这个序列的最后一个项的一个数时 所需要的。
‘那么y就处于F这个概念之下，无论F可能表示什么概念。’
由前面两个句子，大前提和小前提，而引出的这个推理。如果这个推理是真的，合法的，那么，y就需要和前面的x具有一种思辨的联系。在这里，是一种通过整个推理意谓真，来对y和x的联系作出一种说明。
在这点上，和一般从事物到语言的立场不同，在那里，总是思想的内容在先给出来指出一个命题的真。这其实是指出命题的真具有的内在的根据的情况。但是，语言分析里，弗雷格指出了一种从语言到事物的谈论的可能，我们从一个思想的真的指出，而理解语言所表达的关于事物的一种情况。在这里，真是独立和在先于思想的内容指明或声明的东西。
就这里的情况而言，这个推理的真虽然本身作为一种思想，是一个陈述句。它的真并没有得到指明。但是这里讨论的也只是一种思想，并不涉及事实。它是关于‘y在这个φ序列中跟着x’ 这种情况的一个解释。
而一切科学总是一种表示普遍性的思想。其为真，一部分是基于逻辑而为真，另一部分则基于实证而为真。
比如2H2+O2=2H2O。这里H和O的结合，如何结合，具有实证的要求。但是基于物质守恒的原则，只要发生这种结合，具体的数就是基于逻辑得到规定的。而如果进一步进入离子电子层面，那么这种结合的形式也可以脱离单纯的经验而可以被先验地预测或指出。
最后，是‘无论F表示什么概念’。
F表示“属于以n结束的自然数序列的项” 这个概念，至于n为什么数，则是没有受到指出的。无论F表示什么概念，可以看作这整个推理构成的句子对于任何数的成立。
弗雷格的这种处理，把数归于数数，建立在加一的基底上。数数和加一又是有区别的。数数指出属于一个一系列对象处于其下的概念的数，而加一则在于指出数的一个紧跟着另一个的一一对应的关系。
80节
对此作几点评述将不时多余的。
由于φ这种关系可以是不确定的，因此不能以空间时间对应的形式来考虑这种序列，尽管不排除这些情况。
人民也许会以为另一种解释更自然一些，例如：如果从x出发，把注意力总是从一个对象转移到它与之有φ关系的另一个对象上，而且如果以这种方式最终能到达y，那就可以说，y在这个φ序列中跟着x。
这是研究这个问题的一种方式，而不是定义。
我们在注意力游移时是否达到y，可能取决于主观上各种各样的附加情况，例如取决于供我们支配的时间，或取决于供我们支配的时间，或取决于我们对事物的认识。
y是否在这个φ序列中跟着x，一般来说与我们的注意力和转移注意力的条件没有关系，这是某种事实的东西。
/这里主观和客观的区别，大致就是事物或事实和我们对于它们的意识之间的关系。
通过我的解释，这个问题从主观可能性的领域提高到客观确定性的领域。实际上，从一定的句子得出另一个句子，这是客观的东西，是不依赖于我们的注意力的活动规律的东西，我们的不得出这个结论都无所谓。
这里我们有一个标识，凡是在可以提出这个问题的地方，都可以普遍地判定它，即使在个别的情况下，也是如此。对于问题本身，这是无关紧要的。
我们不必总是从头到尾审查从一个开始项到一个对象之间所有的中间项，以便确定这个对象跟着哪个项。
例如，如果看到在这个φ序列里b跟着a，而c跟着b，就可以根据我们的解释推论，c跟着a，甚至不必知道其中间项。
/这里看到弗雷格用‘跟着’这个概念指什么。它和‘紧跟’的区别。
仅通过对一个序列中后续的这种定义，就可以把n到n+1 这种表面上是数学固有的推理方式化归为普遍的逻辑规律。
/这是弗雷格首次指出把算术的加一归于逻辑的定义。
81节
如果我们现在有这样一种关系作关系φ，即通过
‘n在自然数序列中紧跟m’
这个句子建立起m到n的关系，我们就不说‘φ序列’，而说‘自然数序列’。
我们进一步定义：
‘y在这个φ序列中跟着x或y与x相同’ 这个句子与
‘y隶属以x开始的这个φ序列’ 这个句子和
‘x隶属以y结束的这个φ序列’ 这个句子
是意谓相同的。
因此，a隶属以n结束的自然数序列，如果n要么在这个自然数序列中跟着a，要么n与a相等。
原注：如果n不是数，那么只有n本身隶属以n结束的自然数序列。但愿人们不会对这种表达不满。
/‘y隶属以x开始的这个φ序列’ ，这个句子里的φ序列不是从0开始到y结束的自然数序列，而是从x开始到y结束的序列。当然，把φ序列
代以从0开始到y结束的自然数序列，这个句子也是成立的。但是指出上面这个句子就够了。弗雷格的这个句子正是恰好指出必要的思想。
82节
现在需要表明，属于
‘隶属以n结束的自然数序列’
这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟着n。
因此在这种情况下就证明，存在一个在自然数序列中紧跟着n的数；这个序列没有最后一个项。
这个句子显然是无法用经验方法或归纳法建立起来的。
在这里若是给出这个证明本身，就会离题太远。可以仅仅简单提示以下证明过程。应该证明
1 如果a在自然数序列中紧跟d，而且对于d而言，属于
‘隶属以d结束的这个自然数序列’
这个概念的这个数在这个自然数序列中紧跟d，这是有效的，那么对a而言，属于
‘隶属以a结束的这个自然数序列’
这个概念的这个数，在这个自然数序列中紧跟a，这也是有效的。
其次， 应该证明，刚才论述a，d的句子中所陈述的东西，对于0是有效的，然后应该得出，对于n也是有效的。如果n属于以0开始的这个自然数序列。
当必须把关于d和关于a，关于0和关于n的那个共同陈述当作概念F时，这种推论方式就是我关于
‘y在自然数序列里跟着x’
这个表达式所给出的定义的应用。
83节
为了证明上一节1 这个句子，
我们必须表明，a是属于 ‘隶属以a结束的这个自然数序列但不等于a’ 这个概念的数。
而为了表明这一点，又必须证明，这个概念与 ‘隶属以d结束的这个自然数序列’ 这个概念的外延相等。
为此，需要下面这个句子：
任何隶属以0开始的这个自然数序列的对象在这个自然数序列中都不能跟着自己。
这一点也必须借助我们关于一个序列的后续额定义证明。
由此我们不得不为属于
‘隶属以n结束的自然数序列’
这个概念的这个数 在这个自然数序列中也紧跟着n的这个句子补充一个条件，即n隶属于以0开始的自然数序列。为此通常用一种更简略的表达方式，我把这种方式解释为：
‘n属于以0开始的自然数序列’ 这个句子 与
‘n是一个有穷数’ 这个句子
是意谓相同的。
/这里的这个补充是我之前想到了的，觉得弗雷格需要指明却没有指明的东西。
于是我们可以把最后这个句子表达如下：
在自然数序列中任何数都不能跟着自己。
无穷数
84节
与有穷数相对的是无穷数。
属于‘有穷数’这个概念的那个数是无穷数。譬如，让我么用∞来表示它。如果它是一个有穷数，在自然数序列中它就不能跟着自己。但是我们可能表明，∞跟着自己。
/处于有穷数这个概念之下的任何一个数都是有穷数，可是有穷数是无穷多的，这就是说，属于“有穷数”这个概念的数是一个无穷数。
在以这种方式解释的无穷数∞中，不存在任何神秘或奇异的东西。“属于F这个概念的这个数是∞”不多不少恰恰是说：
有一种关系，它使处于F这个概念之下的对象与有穷数相互一一对应。
/弗雷格为什么不直接说处于F这个概念之下的对象就是诸有穷数呢？因为弗雷格在于把一个数看作对于处于一个概念之下对象的数数，也是属于‘与a等数的’这个概念的外延。
根据我们的解释，这是一种完全清楚的和没有歧义的意义；而且这足以证明使用∞这个符号的合理性并且保证他有一个意谓。
我们无法形成一个关于无穷数的表象，这是完全不重要的，对于有穷数同样是这样。
因此，∞这个数有某种与任何一个有穷数同样确定的东西：毫无疑问可以把它作为相同的东西予以重认，并且可以把它与其它东西区别开来。
/意识总是关于某物的意识。但是客观事物却并不需要关于它的意识的存有为自身存在的条件。
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