IEEE浮点数表示法

IEEE浮点数标准将数表示成形式：

• 符号数：决定了数是负的()还是正的()，其中把数值的符号位解释当做是一种特殊情形。
• 有效数：一个二进制分数，范围要么是在和之间，要么是在到之间。
• 指数：用的幂次方对数值加权。

浮点数的位表示分成3个字段对符号数、有效数、指数进行编码：

• 位的符号字段s对符号数进行编码。
• 位的指数字段对指数进行编码；
• 位的分数字段对有效数进行编码，但是编码后的值取决于指数字段exp是否等于。

图2.32展示了如何将这3个字段打包成两种最常见格式的字。

标准的浮点数格式.png

• 在单精度浮点数格式(C语言中的float)里，字长为位：位表示符号字段s，位表示指数字段exp，位表示分数字段frac。
• 在双精度浮点数格式(C语言中的double)里，字长为位：位表示符号字段s，位表示指数字段exp，位表示分数字段frac。

对于单精度浮点数，根据指数字段exp的值，一个给定二进制表示的数值可分成3种不同的情况：

情形1：可归一化数

特征

指数字段exp既不全是0，也不全是1；
指数值；
；

解释：

• 单精度情形下，指数字段exp的无符号数范围是1到254，双精度情形下，指数字段exp的无符号数范围是1到2046；
• 解释指数为一个用偏移形式表示的有符号数，即指数值，其中exp是位模式为的无符号数，(单精度情形数值为，双精度情形数值为)。据此可得出：单精度情形下指数值的数值范围是到，双精度情形下指数值的数值范围是到。
• 解释有效数为一个二进制表示为的数，等价于有效数，这叫做隐式1开头表示。这样能多表示1位精度，因为通常会调整指数使得有效数满足，且开头的位一直等于1，不需要显式地表示。用字段frac来表示分数值，其中，对应的二进制表示为。

情形2：不可归一化数

特征：

指数字段exp全是
指数值；
有效数;

解释：

• 有效数，表示分数字段frac没有隐式的开头1;

为什么要提供不可归一化数？

1. 不可归一化数提供了一种表示的方法
   由于可归一化数对应的有效数，所以不能用可归一化数来表示。
2. 为了表示非常接近的数。
   不可归一化数可提供熟知的渐近下溢性质：所有可能的数值在附近呈均匀分布。

如何表示？

• 符号位s是0，即符号数；
• 指数字段exp全是0，即指数；
• 分数字段frac全是0，即有效数；
• ；

如何表示？

• 符号位s是1，即符号数；
• 指数字段exp全是0，即指数；
• 分数字段frac全是0，即有效数；
• ；

注意：

• 使用IEEE浮点数标准，数值和在有些情形里当做是一样的，有些情形里当做是不一样的。

情形3：特殊值

特征：

指数字段exp全是1；

如何表示？

• 指数字段exp全是1；
• 分数字段frac全是0；
• 符号位s是0，即符号数；

如何表示？

• 指数字段exp全是1；
• 分数字段frac全是0；
• 符号位s是1，即符号数；

如何表示？

• 指数字段exp全是1；
• 分数字段frac不等于；

两个惯用法：

• 当乘以两个非常大数，或者除以0时，使用无穷大来表示运算结果；
• 当运算结果不能用实数或者无穷大来表示时，就使用来表示；