初二几何全等三角形，半角模型变形为雨伞模型

全等三角形是初二几何的一个重点，也是难点。光是总结出来的模型就有十几种，有些模型间稍微一变化就能相互转化并提升难度。

半角模型是指从一个正方形的顶点出发，引出一个夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。要求的结论是：射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。

如果把正方形变形为：四边形一组邻边相等，两两对角互补，从等边的夹角引发出一个夹角为该角一半的两条射线，“射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和”的结论仍然成立。

如图一，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，则结论EF=BE+DF同样成立。

如果这个条件再变一下，这个模型便会变成雨伞模型。

如图二，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，则则结论EF=BE+DF就不成立，而变成了结论EF=BE-DF。

我们试着用截长法来证明。

如图三，在BC上截取BG=DF，连接AG。

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC与∠ADF为邻补角

∴∠B=∠ADF

在△ABG和△ADF中

AB=AD

∠B=∠ADF

BG=DF

∴△ABG≌△ADF，∠BAG=∠DAF，AG=AF

∵∠BAD=∠BAG+∠GAD，∠GAF=∠DAF+∠GAD

∴∠BAD=∠GAF

∵∠EAF=1/2∠BAD

∴∠EAF=1/2∠GAF=∠GAE

在△EAG和△EAF中

AE=AE

∠EAF=∠GAE

AG=AF

∴△EAG≌△EAF，EG=EF

∵EG=BE-DF

∴EF=BE-DF

期待您有更好的答案。