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2.Fourier变换与时频分辨率

2.Fourier变换与时频分辨率

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-10-21 09:25 被阅读0次

从傅里叶序列到傅里叶变换

  • 傅里叶序列：f \in R[-\pi, \pi]，f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x，且\left\{\begin{array}{l}{a_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x, n=0,1,2 \cdots} \\ {b_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x, n=1,2,3 \cdots}\end{array}\right.
  • 如果将正弦部分记为虚部，那么有f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x}, c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-i n x} \mathrm{d} x, n=0, \pm 1, \pm 2 \cdots
  • 进一步，当f \in R[-L \pi, L \pi]
    f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i n x / L}
    其中c_{n}=\frac{1}{2 \pi L} \int_{-\pi L}^{\pi L} f(x) \mathrm{e}^{-i n x / L} \quad \mathrm{d} x, n=0, \pm 1, \pm 2 \cdots
  • 如果记\hat{f}\left(\frac{n}{L}\right) \triangleq 2 \pi L c_{n}，当L\rightarrow \infty时\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i \omega x} \mathrm{d} x, \omega \in \mathbb{R}
    这时，我们就已经得到了傅里叶积分的变换公式：f \in L^{1}(\mathbb{R})，\hat{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{e}^{-i \omega x} \mathrm{d} x, \omega \in \mathbb{R}(FT)
  • 进一步，若\hat{f} \in L^{1}(\mathbb{R})，那么f(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) \mathrm{e}^{i x \omega} \mathrm{d} \omega(IFT)
    而L^{1}(\mathbb{R}) \cap L^{2}(\mathbb{R})在L^{2}(\mathbb{R})中稠密，所以我们可以把上述过程推广到L^{2}(\mathbb{R})中。

连续傅里叶变换(CFT)

性质：


image.png

二维连续傅里叶变换(2D CFT)

\hat{f}\left(\omega_{x}, \omega_{y}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) e^{-i\left(\omega_{x} x+\omega_{y} y\right)} d x d y \quad\left(f \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)\right)
如果f, \hat{f} \in L^{1}\left(\mathbb{R}^{2}\right)那么f(x, y)=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}\left(\omega_{x}, \omega_{y}\right) e^{i\left(\omega_{x} x+\omega_{y} y\right)} d \omega_{x} d \omega_{y}

紧支撑

如果\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f}(\omega)|\left(1+|\omega|^{p}\right) d \omega<+\infty，那么f是有界且f \in C^{p}。
推论1.若\exists K>0, \varepsilon>0，使得|\hat{f}(\omega)| \leq \frac{K}{1+|\omega|^{p+1+\varepsilon}}，那么f \in C^{p}
推论2.如果\hat{f}是紧的，那么f \in C^{\infty}。

不确定性原理

问题：能否构造一个函数f使得能量有时域局部性的同时能量会集中在一个小的频率区间上。
Heisenberg不确定性原理：不能得到时间和频域上都任意好的解，一者必将迁就另一方。\sigma_{\omega}^{2} \sigma_{t}^{2} \geq \frac{1}{4}

短时傅里叶变换(STFT)

S f(\tau, \dot{\omega})=\int[f(t) \cdot W(t-\tau)] \cdot e^{-i \omega t} d t
其中W(t-\tau)为能量集中在\tau的窗口函数。
STFT一旦窗口函数选定
\sigma_{\tau}^{2}=\int_{-\infty}^{+\infty}(t-\tau)^{2}\left|W_{\tau, \omega}(t)\right|^{2} d t=\int_{-\infty}^{+\infty} t^{2}|W(t)|^{2} d t
\sigma_{\omega}^{2}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty}(\xi-\omega)^{2}\left|W_{\tau, \omega}(\xi)\right|^{2} d \xi=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \xi^{2}|\hat{W}(\xi)|^{2} d \xi
二者均为常数。

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