专题：代数余子式求和

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-28 09:22 被阅读0次

专题：代数余子式求和
余子式与代数余子式
【矩阵】15、伴随矩阵
高等代数理论基础19：Laplace定理
矩阵的逆 inverse
第20课克拉默法则、逆矩阵、体积
行列式（背诵内容）
线性代数
2018-10-19
线性相关

代数余子式求和理论

（1）用余子式（代数余子式）的定义直接计算.此法一般计算量较大，易出错；
（2）利用行列式元素的余子式（代数余子式）与此元素的值无关的特点，改变行列式的某个（行或列）元素，然后利用行列式的展开定理处理.此法应用较多.
（3）考虑矩阵的伴随矩阵.

典型例题

例3.2已知五阶行列式
$D_{5}=\left| \begin{array}{lllll}{1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ {2} & {2} & {2} & {1} & {1} \\ {3} & {1} & {2} & {4} & {5} \\ {1} & {1} & {1} & {2} & {2} \\ {4} & {3} & {1} & {5} & {0}\end{array}\right|=27$
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}+A_{45}$ 以及 $A_{41}$
例3.5 $\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}+x} & {a_{12}+x} & {\cdots} & {a_{1 n}+x} \\ {a_{21}+x} & {a_{22}+x} & {\cdots} & {a_{2 n}+x} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} & {\vdots} \\ {a_{n 1}+x} & {a_{n 2}+x} & {\cdots} & {a_{n n}+x}\end{array}\right|=\left|a_{i j}\right|+x \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$
例3.6设 $n$ 阶行列式 $\left| \begin{array}{llll}{a_{11}} & {a_{12}} & {\cdots} & {a_{1 n}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {\cdots} & {a_{2 n}} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}} & {a_{n 2}} & {\cdots} & {a_{n n}}\end{array}\right|=1$ 且满足 $a_{i j}=-a_{j i}, i, j=1,2, \dots, n$ 对任意 $b$ 求 $n$ 阶行列式 $\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}+b} & {a_{12}+b} & {\cdots} & {a_{1 n}+b} \\ {a_{21}+b} & {a_{22}+b} & {\cdots} & {a_{2 n}+b} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}+b} & {a_{n 2}+b} & {\cdots} & {a_{n n}+b}\end{array}\right|=?$
例3.7偶数阶反对称行列式的每个元素都加上同一个数后，行列式的值不变
例3.8(1)把下列行列式表示成按 $x$ 的幂次排列的多项式 $\left| \begin{array}{cccc}{a_{11}+x} & {a_{12}+x} & {\cdots} & {a_{1 n}+x} \\ {a_{21}+x} & {a_{22}+x} & {\cdots} & {a_{2 n}+x} \\ {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} & {\cdots} \\ {a_{n 1}+x} & {a_{n 2}+x} & {\cdots} & {a_{n n}+x}\end{array}\right|$
(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余子式之和不变。
例3.10（北京工业大学2012）将 $n（自然数n≥2）$ 阶实矩阵 $A$ 的第一行的 $-1$ 倍加到其余所有行上，得到矩阵 $A_1$ ，将 $A_1$ 的第一列的 $-1$ 倍加到其余所有列上，得到矩阵 $A_2$ ，将 $A_2$ 的第一行，第一列删掉，得到矩阵 $A_3$ .记 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A^{*} X$ （其中，行向量 $X^{T}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ， $A*$ 是 $A$ 的伴随矩阵）.证明：当 $x_{i}=1(i=1,2, \cdots, n)$ 时， $f(1,1, \cdots, 1)=\left|A_{3}\right|$ .（提示：可考虑 $A+J$ 及其行列式 $|A+JI$ ，其中， $J$ 表示所有元素都是 $1$ 的 $n$ 阶方阵）.