第20课克拉默法则、逆矩阵、体积

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-11-02 18:50 被阅读0次

第20课克拉默法则、逆矩阵、体积
线性代数之——克拉默法则、逆矩阵和体积
行列式（三）- 克拉默法则
克拉默法则
线性代数——(4)行列式
【3D数学基础：图形与游戏开发】矩阵（二）
2019-03-26
分块矩阵
伪逆矩阵（广义逆矩阵）
逆矩阵

介绍行列式的应用（公式，性质）

逆矩阵公式

逆矩阵公式（代数表达式）
$\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\\ \rightarrow A^{-1} =\frac{1}{|A|}C^T$
代数余子式组成的矩阵记作 $C$ ， $C^T$ 称作伴随矩阵

$|A|$ 由 $n$ 个元素的乘积组成

$C^T$ 各元素由 $n-1$ 个乘积组成

检验：
$AA^{-1}=I\rightarrow A\frac{1}{|A|}C^T=I\rightarrow AC^T=I|A|$

$\begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_{11}&\dots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}|A|&0&\dots&0\\0&|A|&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\dots&0&|A|\end{bmatrix}$

第一行的元素乘以基它行的代数余子式等于0

某行元素乘以对应的代数余子式，各项相加，结果等于行列式的值

此时元素的代数余子式都来自同一行，如果元素来自第一行，而代数余子式来自第二行，它们结合的结果等于0，得仔细推敲

克莱姆法则

$Ax=b\rightarrow x=A^{-1}b=\frac{1}{|A|}C^Tb$

克莱姆法则:
$x_1=\frac{|B_1|}{|A|};x_2=\frac{|B_2|}{|A|};x_j=\frac{|B_j|}{|A|}\\ B_1=\begin{bmatrix}b&A_{col_2}&\dots&A_{col_n}\end{bmatrix}（A的第一列用b代替）\\ B_j=\begin{bmatrix}A的第j列用b代替\end{bmatrix}$
克莱姆法则提出了一个代数表达式，能进行代数运算，而不只是写算法（计算会很复杂，中看未必中用，用消元法更直接）

行列式的应用

行列式求体积：行列式的值等于一个箱子的体积。

$detA$ 有正有负，正负代表箱子是右手系或是左手系的，体积为正等于行列式的绝对值 $|detA|$

例：行列式性质第3条b点，求平行四边形面积行列式面积
$\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}= \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}$

$area=det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$

三角形面积：
$area=\frac{det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{2}=\frac{ad-bc}{2}$
不在原点的三角形面积：
$area=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}$