【矩阵】15、伴随矩阵

作者: 看远方的星 | 来源:发表于2021-02-02 11:08 被阅读0次

【矩阵】15、伴随矩阵
2018-10-19
矩阵
伴随矩阵和逆矩阵
矩阵可逆的几个充要条件
第二章矩阵
第20课克拉默法则、逆矩阵、体积
专题：反对称矩阵
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逆矩阵

伴随矩阵.png

一、练习答案

$\left | A \right |=\left| \begin{array}{cccc} 0&2&-8 \\ -2&0&6 \\ 8&-6&0 \\ \end{array} \right| =？$

$\left | A \right |=\left| \begin{array}{cccc} 0&2&-8 \\ -2&0&6 \\ 8&-6&0 \\ \end{array} \right| =0$
奇数阶反对称阵的行列式为零。

二、知识点

1、定义

$A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

$A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，伴随矩阵：

$A^{ \ast } =\left( \begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\ \end{array} \right)$

写 $A^{ \ast }$ 时要注意代数余子式的顺序，行变列。

例题：
二阶矩阵 $A=\left( \begin{array}{cccc} a&b \\ c&d \\ \end{array} \right)$ 的伴随矩阵=？

$A_{11}=d，A_{12}=-c，A_{21}=-b，A_{22}=a$

$A^{\ast}=\left( \begin{array}{cccc} d&-b \\ -c&a \\ \end{array} \right)$

$A^{\ast}$ 与 $A$ 的差别：主对角线互换，其他不动但是要添加负号

2、重要等式

复习：
$\begin{equation*} a_{j1}A_{i1}+a_{j2}A_{i2}+\cdots +a_{jn}A_{in} = \end{equation*} \begin{cases} D \quad （i=j）\\ 0 \quad (i\neq j ) \end{cases}$
$\begin{equation*} a_{1j}A_{1i}+a_{2j}A_{2i}+\cdots +a_{nj}A_{ni} = \end{equation*} \begin{cases} D \quad （i=j）\\ 0 \quad (i\neq j ) \end{cases}$

因为：
$AA^{\ast}= \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\ \end{array} \right)$

$= \left( \begin{array}{cccc} \left | A \right |&& \\ &\ddots& \\ &&\left | A \right | \end{array} \right) =\left | A \right |E$

$A^{\ast}A= \left( \begin{array}{cccc} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{array} \right)$

$= \left( \begin{array}{cccc} \left | A \right |&& \\ &\ddots& \\ &&\left | A \right | \end{array} \right) =\left | A \right |E$

所以得：
$AA^{\ast}=A^{\ast}A=\left | A \right |E$

三、练习

$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&0 \\ -1&1 \\ \end{array} \right)，A^{\ast}=？$

$B=\left( \begin{array}{cccc} 1&-2 \\ 3&1 \\ \end{array} \right)，B^{\ast}=？$

$C=\left( \begin{array}{cccc} 2&-3 \\ 1&4 \\ \end{array} \right)，C^{\ast}=？$

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