名师经验 | 利用“推磨原理”巧解几何最值问题

徐州市树人中学 张廷位 

问题的提出：

    在对2020-2021学年度第一学期初二数学期中考试的反思中，笔者对第18题进行了深度的思考。

如图，已知∠EOF＝90°，ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OE、OF上运动，ABC的形状大小始终保持不变．在运动的过程中，点C到点O的最大距离为　    　．      本题为一道4分填空题，得分率极低。全校初二年级参考人数795人，18个教学班，平均得分为1.05分，平均每人在本题上失掉近3分。得分情况见下表：

    从各班得分来看：最低得分0.43分，最高得分2.77分，高低差为2.34分。为什么会出现如此不寻常的结果呢？经了解得知：考前15、16班老师应学生要求，简单的介绍了同类型题目的解决办法。题目及讲解如下：

如图,∠MON=90∘，已知ABC，AC=BC=5，AB=6，ABC的顶点A.B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，三角形ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为___.

考点：

[勾股定理； 等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形三边关系]

分析：

取AB的中点D．连接CD．根据三角形的三边关系得到OC小于或等于OD+DC，只有当O、D及C共线时，OC取得最大值，最大值为OD+CD，根据D为AB中点，得到OD=3，根据三线合一得到CD垂直于AB，在RtBCD中，根据勾股定理求出CD的长为4，进而求出DC+OD，即为OC的最大值．

解答：

如图，取AB的中点D，连接CD.∵AC=BC=5，AB=6.∵点D是AB边中点，∴BD=3，由勾股定理，得CD = 4 ；连接OD，有OC⩽OD+DC，当O、D.C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD=3，∴OD+CD=3+4=7，即OC=7.    故答案为：7.上述解法让笔者联想到人民生产、生活中的推磨情景。如下图：

推磨原理

从推磨的图片中可以看出：磨棍的长度不变，一端固定在磨盘的边缘D点处，另一端安插在磨杠（扶手）的中点C处，并利用两根绳子将磨杠水平悬在空中，不断调整绳子的长度，尽量使其（水平放置的磨杠）与点B所在的平面保持在同一个平面内。在推磨的过程中，推磨人的身体时而前倾、时而后仰，循环往复，乐此不疲。把推磨原理抽象出数学问题即为：     

如图，在O中，O代表磨盘，其圆心点O为定点（磨心），半径大小不变为定值，CD为磨棍，其长度大小也为定值，动点C的位置随O上的动点D的运动变化而发生改变，当点D运动到与点Q所处位置重合时，点O、D、C三点共线，此时ODC不存在，点C到圆心O的距离最大，最大值为CD + OD的值；当点D运动到与点P所处位置重合时，点D、O、C三点共线，此时ODC不存在，点C到圆心O的距离最小，最小值为CD - OD的值。利用这个原理，可以解决一类中考数学几何最值问题，我们不妨把此原理称之为“推磨原理”  。

在上题的解法中，教师首先指出：要取AB的中点D，连接OD、CD，然后分别求出OD、CD的长，最后计算出OD＋CD的值，即得OC的最小值，问题得以解决。问题是本题为什么要取AB的中点D，关键是学生并不知道需要取AB的中点。因此本题得分率极低，平均每人在本题上失掉近3分也就不足为奇。如果我们能给学生强调，当看到：求有关OC的最小值的问题时，就联系“推磨原理”，学生就有了解决问题的方向：必须要找到这样一个D点！而这个点基本上都与直角三角形斜边的中点有关。

    数学来源于生活，反过来又服务于生活，“推磨原理”就是最好的例子。笔者从具体的例子中联系到生活中的“推磨”，总结出解决问题的一般方法“推磨原理”，然后再用其帮助我们解决实际问题。从而让生动形象的数学模型“推磨原理”与枯燥无味的数学题有机结合，使学生再解决此类问题时就有了目标方向，这样的数学教学才是真正的有血有肉的有价值的数学。                                       

名师介绍：

张廷位，江苏省徐州市树人中学数学名师。他把传统教学和智慧教学结合，形成了”以学定教”模式，提炼出数学讲解“三原则”，在全国智慧教学研讨会上做过经验交流，深受与会代表及专家肯定。

（办公室 编辑）