2022-03-15-01
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P051 例11)
求最大的正整数,使得存在个不同的实数,满足:对任意,有
解
等价于
也即
令,不妨设.
则原不等式等价于,即
因此,只需求出最大的,使得存在个角:,满足:
考虑复数,则.
由,,,知的辐角主值,的辐角主值.所以
又因为,则.
当,,, ,时,等号可以取到.
故的最大值为9.
2022-03-15-02
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P052 例12)
已知、、都是正数,求证:
等号当且仅当时成立.
证明
令,,,则
于是原不等式等价于
即
下面我们证明
注意到等价于.
由Cauchy不等式,这是显然的.
同理还有类似的其他两式,相加即得原不等式成立.
2022-03-15-03
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P052 例13)
设,求证:
证明
记不等式的左端为,令
所以
因此,故有成立.
2022-03-15-04
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P053 例14)
已知非负实数、、满足,求证:
并求出等号成立的条件.
证明
设,,则
令,则有(注意:这起到了降次的作用!).于是
所以
等号当、、中有2个为时取到.
又因为,则相当于,即
即
而由Cauchy不等式可得
于是
故成立,且等号当时成立.
2022-03-15-05
(来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 不等式的解题方法与技巧 苏勇 熊斌 证明不等式的基本方法 P054 例15)
(1)设实数、、都不等于,,求证:
(2)求证:存在无穷多组三元有理数组,使得上述不等式等号成立.(2008年国际数学奥林匹克)
证法1
(1)令,,,则
由题设条件得,
即,
所以
从而.
(2)令,是正整数,则是三元有理数组,、、都不等于1,且对于不同的正整数,三元有理数组是互不相同的.此时
从而命题得证.
证法2
(1)由,可设,,,得,,,、、互不相等.故
令,,,则化为.由于
所以,
由可得,
所以,从而式成立.
(2)令,,,其中可取除0外的一切有理数,改变,其中使得、、中有某个为1的至多只有有限个,这样就得到无穷多组三元有理数组,、、都不等于1,使得,而由知(2)成立.
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