单自由度振动方程

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-02-26 17:56 被阅读0次

单自由度振动方程
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神奇小车在无阻尼无外加力的环境条件下：
小车质量 $M$ ，弹簧劲度系数 $k$ ，无摩擦力，小车运动位置 $x$

根据牛顿第二定律列写方程：

$Ma=-kx$ $M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-kx$ $M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx=0$

列出齐次方程，解特征方程：

$Mr^{2}+k=0$ $r=\pm i\sqrt{\frac{k}{M}}$ $x=C_{1}e^{i\sqrt{\frac{k}{M}}t}+C_{2}e^{-i\sqrt{\frac{k}{M}}t}$

假设 $\omega_{0}= \frac{2\pi}{f_{0}}=\sqrt{\frac{k}{M}}$ ，带入：

$x=C_{1}e^{i\omega_{0}t}+C_{2}e^{-i\omega_{0}t}$ $x=Ce^{i(\omega_{0}t+\varphi)}$

$\omega_{0}$ 和 $f_{0}$ 只与震动系统本身参数有关，不随时间和运动状态变化， $f_{0}$ 称为系统固有频率

神奇小车在有阻尼有外加力的环境条件下：
小车质量 $M$ ，弹簧劲度系数 $k$ ，阻尼系数 $R_{m}$ ，无摩擦力，小车受到外力 $F$ ，小车运动位置 $x$

根据牛顿第二定律列写方程：

$Ma=F-R_{m}V-kx$ $M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=F-R_{m} \frac{dx}{dt}-kx$ $M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+R_{m} \frac{dx}{dt}+kx=F$

列出齐次方程，解特征方程：

$M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+R_{m} \frac{dx}{dt}+kx=0$ $Mr^{2}+R_{m}r+k=0$

当阻尼较大时 $R_{m}^{2}-4Mk>0$ ，特征方程有实数解：

$r=\frac{-R_{m}\pm \sqrt {R_{m}^{2}-4Mk}}{2M}$

设物理量阻尼系数 $\delta = \frac{R_{m}}{2M}$ ，将 $\delta$ 和 $\omega_{0}$ 带入：

$r=-\delta \pm\sqrt{\delta^{2}-\omega_{0}^{2}}$ $x=e^{-\delta t}(C_{1}e^{\sqrt{\delta^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+C_{2}e^{-\sqrt{\delta^{2}-\omega_{0}^{2}}t})$

当阻尼较小时 $R_{m}^{2}-4Mk<0$ ，特征方程有复数解：

$r=-\delta \pm i\sqrt{\omega_{0}^{2}-\delta^{2}}$ $x=e^{-\delta t}Ce^{i(\sqrt{\omega_{0}^{2}- \delta^{2}}t+\varphi)}$

将外力 $F=|F|e^{j(\omega t+\varphi)}$ 带入非齐次方程求特解：

$M\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+R_{m}\frac{dx}{dt}+kx=|F|e^{j(\omega t+\varphi)}$ $x=Ce^{j(\omega t+\varphi)}$ $C=\frac{|F|}{-M\omega^{2}+jR_{m}\omega+k}$ $C=\frac{|F|}{j\omega(R_{m}+j(M\omega -\frac{k}{\omega}))}$

定义物理量机械阻抗 $Z_{m}=R_{m}+j(M\omega-\frac{k}{\omega})$ 带入：

$x=\frac{|F|e^{j(\omega t+\varphi)}}{j\omega Z_{m}}$

$x$ 分子部分即为 $F$ ，对 $x$ 在时间上求导得到速度 $v$ ：

$v=\frac{j\omega|F|e^{j(\omega t+\varphi)}}{j\omega Z_{m}}$ $v=\frac{F}{Z_{m}}$

由式可得震动速度 $v$ 与 $R_{m}$ 、 $M$ 、 $k$ 、 $F$ 的关系， $v$ 也被称为质点振速 $u$

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