棒纵振动方程

作者: itkkanae | 来源:发表于2020-04-16 18:11 被阅读0次

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首先还是列出几个不同情况下声传播速度的公式（参考）
弦上传播，应力 $F_{T}$ ，弦的密度 $\mu$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}}$

固体中传播，杨氏模量 $Y$ ，密度 $\rho$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$

理想气体中传播，绝热指数 $\gamma$ ，气体常数 $R$ ，开氏温度 $T_{K}$ ，摩尔质量 $M$ ：

$c_{0}=\sqrt{\frac{\gamma RT_{K}}{M}}$

均匀细棒纵振动方程
现有一根沿x方向传输小振幅纵波的细棒，截面所受应力 $T(x)$ ，棒横截面积 $S$ ，棒密度 $\rho$ ，体积微元振动位移 $\zeta$ （这里 $x$ 与 $\zeta$ 是同向距离维度，但 $\zeta$ 振动幅度很小，对 $x$ 影响可以忽略不计）

根据牛二定律：

$ST(x+dx)-ST(x)=\rho Sdx\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}$

$S\frac{\partial T}{\partial x}dx=\rho Sdx\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}$

$\frac{\partial T}{\partial x}=\rho\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}$

其中应力 $T=Y\varepsilon$ ， $Y$ 为杨氏模量， $\varepsilon=\lim_{L\to 0}\frac{\Delta L}{L}\approx\frac{\partial\zeta}{\partial x}$ 为应变，带入得：

$Y\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial x^{2}}=\rho\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}$

带入声速得振动方程：

$c^{2}_{0}\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}\zeta}{\partial t^{2}}$

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