S1C1.整数的计算

1. 为了理解数系，本书构建了以自然数为基础的数学结构。

2. 数与其对象所特有的性质无关，也与所采用的表达符号无关（这里的关系是指依赖关系）。

3. 数字概念的抽象性理解对智力水平有一定要求：儿童对数字概念的理解通常与实际的对象连在一起（如手指或珠子）。

4. 从具体对象的集合转化到抽象数的概念的哲学性质是什么？？？

5. 为什么我们自然的接受了自然数及其两种基本运算（加法和乘法）？？？

6. 算术是有关自然数或整数的数学理论。而算术的基础是整数的加法和乘法服从某些规律（这些规律用某种符号表示如下）。

交换律：
a+b=b+a
a*b=b*a

结合律：
a+(b+c)=(a+b)+c
a*(b*c)=(a*b)*c

分配律：
a*(b+c)=a*b+a*c

7. 从两个整数的加法出发可定义不等关系和减法运算。

不等关系

减法运算

8. 整数的表示

位置记法
数码符号的意义依赖于其所在的位置排列

十进制
七进制
b进制

十进制转b进制
b连续除十进制整数后的余数逆排列

十进制转b进制

b进制转十进制
b进制的每一位上的整数乘以b的该整数位次减一次方之和（位次呈逆排列）

b进制转十进制

9. 二进制的特殊

1表示存在
0表示虚无

10. 自然数

自然数包不包括0？

Peano定理：

• 1是自然数；
• 任一自然数都有唯一一个自然数为其后继数；
• 没有两个相异的自然数有同一后继数；
• 1不是任何自然数的后继数；
• 如果1具有性质P，且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P；则一切自然数都具有性质P。

Peano定理的改造

• 0是自然数；
• 任一自然数都有唯一一个自然数为其后继数；
• 没有两个相异的自然数有同一后继数；
• 0不是任何自然数的后继数；
• 如果0具有性质P，且任何具有性质P的自然数其后继数也具有性质P；则一切自然数都具有性质P。

自然数的集合论诠释

• 令0为空集；
• 1为{（空集）}；
• 2为{（空集），{（空集）}}；
• ...
• 自然数为所有归纳集的交集（最小归纳集）。

• 注：

  
  后继者的集合论定义
  归纳集的集合论定义

11. 因数与倍数
3*4=12

• 12是3和4的倍数
• 3和4是12的因数

12. 运算的本质是映射

Section one. Chapter 1