4.6 样本均值的分布与中心极限定理

1. 样本均值分布的理论获取方式

假设总体有N个元素，样本大小为n。则在重复抽样条件下，有N^n种样本，在不重复抽样条件下有种样本。把所有样本的均值都算出来，这些均值的分布，就是样本均值的真实概率分布了。

2. 中心极限定理

假设总体的均值为μ，方差为，样本大小为n，当n足够大时（一般要求n>=30），那么样本均值的分布近似服从均值为μ，方差为的正态分布。

① 中心极限定理对于总体服从什么分布没有要求；

② 样本均值的期望值与总体的均值相等；

③ 样本均值的方差正比于总体的方差。直观理解：当总体方差较大时，意味着总体的元素分布比较离散，那样本与样本之间差别可能比较大，算出来的均值也不怎么稳定，即样本均值的方差也比较大；

④ 样本均值的方差反比于样本大小n。当样本量越大时，均值必然越稳定，比如我们用10个人（n=10）去估计中国人的平均身高，那每次取一个样本，算出来的均值可能千差万别。如果我们用10万个人（n=100000）去算平均身高，每次采样算出来的结果可能都差不多，即样本均值的方差会很小。

⑤ 中心极限定理是可以证明的