高数——泰勒级数和傅里叶级数

作者: 粉刷乌鸦 | 来源:发表于2020-03-13 11:07 被阅读0次

泰勒级数：就是用无穷级数去逼近一个光滑函数。当 $x_{0} =0$ 时，就转变为麦克劳林公式。

$f ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { f ^ { ( n ) } ( x _ { 0 } ) } { n ! } ( x - x _ { 0 } ) ^ { n } + R _ { n } ( x )$ ，条件：f(x)在x=x0处有任意阶导数，n+1阶可导

拉格朗日余项：n+1阶项；皮亚诺余项： $o((x-x_{0} )^n )$

泰勒公式和拉格朗日中值定理的关系：拉格朗日中值定理是n=0时的泰勒公式（带拉格朗日余项）。

泰勒公式的应用：①可以把复杂函数拆分为多项式的近似函数，便于用计算机求解；②用来推导欧拉公式（把 $e^x$ 展开，令 $x=i\theta$ ,比较sinx和cosx的展开式）。

傅里叶级数：任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

$f ( x ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( a _ { n } \cos n x + b _ { n } \sin n x )$ ，其中： $\left. { a _ { n } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) \cos n x d x } \\ { b _ { n } = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \pi } ^ { \pi } f ( x ) \sin n x d x } \right.$

泰勒级数与傅里叶级数的关系：傅里叶级数以三角函数为基底，基有正交性；泰勒级数以幂函数为基底，没有正交性。（正交性：任意两个不同函数的乘积在[-π,π]上的积分值为0.）

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