4. 傅里叶级数

3.1 三角级数

傅里叶级数是三角级数的一种，所以先从三角级数开始。

概念：形如的级数，其中都是常数，称为三角级数。

三角函数系的正交性：三角函数系

中任意不同的两个函数的乘积在区间上的积分等于零。

3.2 周期为的函数展开成傅里叶级数

概念：如果是周期为的周期函数，且能展开成上述三角级数，当

积分都存在，这时它们定出的系数叫做函数的傅里叶系数，带入所得的三角级数叫做函数的傅里叶级数。

收敛定理，狄利克雷充分条件：设是周期为的周期函数，如果它满足：

1. 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
2. 在一个周期内至多只有有限个极值点，

那么的傅里叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于。

周期延拓：把一个定义域为有限区间的函数拓展为周期函数，按这种方式拓广函数的定义域的过程称为周期延拓。

正弦级数：奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数。
余弦级数：偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数。

奇（偶）延拓：设函数定义在区间上并且满足收敛定理的条件，我们在开区间内补充函数的定义，得到定义在上的函数，使它在上成为奇（偶）函数。按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇（偶）延拓。

3.3 一般周期函数展开成傅里叶级数

对周期为的周期函数做变量代换得到以下定理：

定理：设周期为的周期函数满足收敛定理的条件，则它的傅里叶级数展开式为

其中

傅里叶级数的复数形式在此不做记录。