每年的六月中旬，初三学子都要面临一场严肃而重大的考试，中考。
中考，也叫初中学业水平考试，它有多重要呢？就拿数学中考来说，2019年广东省的中考考试大纲指出：“中考是义务教育阶段数学学科的终结性考试，目的是全面、准确地反应初中毕业生的数学学业水平，考试的结果既是评定我省初中毕业生数学学业水平是否达到毕业标准的主要依据，也是高中阶段学校招生的重要依据之一。”
这里传达了两个信息，一是对每个初中学子来说，无论珍惜与否，中考可能都只有一次，可见它很严肃；二是对每个初中学子来说，中考不仅能帮助了解自己学的怎么样，还能让自己有机会争取一张进入高中学习的入场券，可见它很重大。
这么重要的考试，如果刚把新课学完就立刻去考，未免也太草率了；如果把课程重新学一遍，似乎也必要，再说时间也不允许，而中考复习是合理的选择。有的学校为了腾出时间，努力把新课在初三上学期上完，留足一个学期的时间给中考复习，相当重视。可是，时间再多也有限，我们更应该关注的，是如何帮助学生提高中考复习的效率。
高效的中考复习，意味着在相同的时间内，学生能够更快地实现中考目标，或者离中考目标更接近。因此，要想提高复习效率，我们首先应该回答一个问题：学生参加数学中考的终极目标是什么？
对学生来讲，了解自己数学学的怎么样，其实不用等到中考，机会有的是；争取进入高中学习的机会，或许才是参加数学中考更为实际的终极目标。就好比一场赛跑，虽然胜败乃兵家常事，但只有投入一颗求胜的心，才算是真正地参与其中。中考，更像是一场比赛。
这场比赛比的是什么？分数。高中的名额有限，排除政策的力量，谁的分数更多，入选的希望也就更大。如果分数比别人低，就算你对其中某一道题有绝妙的解法，你也不比别人有优势；如果分数比别人高，就算你对每道题的解法都中规中矩，你的胜算依然比别人更大。因此，比赛的关键，在于尽可能地提高分数。
分数是怎么来的？做题。在规定的时间内，学生只要解决一定数量的试题，就能得到相应的得分。解决的题目越多，分数也就越高。因此，提高分数的关键，在于提高解决问题的效率。
问题是怎样被解决的？
解决问题的一种方式，是靠经验。遇到问题，先回想有没有处理过类似的，如果有，那过去怎么做，现在就怎么做，搬过来就是了。
如果能事先知道中考题，那就没什么好准备的，把答案背熟就行了，考试的时候看谁记得牢。当然这种事情发生的可能性不大，有的老师于是退而求其次，中考题猜不中，猜中考题的题型总可以了吧！他们热衷于分析所有搜集到的题目的形式，为它们总结题型，精细到每个数字或每个图形，还为每个题型都制定了相应的处理方式，只要严格执行就一定能解决。他们相信，只要能猜到中考题目可能的样子，那么学生就能做到最好的复习。
猜题型的复习思路有两个局限：
一个局限是，题目的形式层出不穷，要想满足“MECE原则”，你分出来的类型会特别多，比如求一个数乘以两个数的和，本来就是乘法分配律能解决的事，但如果非要按照每个数的正负来划分，就会分出2×2×2=8种类型，这样一来，为了照顾到每种类型的过关，复习的时间会被拉得更长，练习量也会变得更多，堪比题海。
另一个局限是，老师对题型的总结，是建立在自己能够解决的基础上，主动思考的结果；而对学生而言，可能自己对题目的解决还没思路，就被灌输某种题型的概念，并且要求做针对性的巩固训练，这让学生无意中强化了一条解决问题的底层程序：遇到问题，就找模型。模型找到，题目便迎刃而解；模型没有，学生就会束手无策。他们会把自己的精力，投入到对各种题型的处理方式的记忆和练习，而不是考虑方法背后的逻辑。
更危险的是，当总结的题型多了，学生用起来会容易混淆。有一次，学生在做一道应用题。本来根据题意，列出来的应该分式方程，可是我巡视发现，超过一半的学生列出来的是二次方程！细想原因，可能是这道应用题的背景是买卖东西，刚好跟学生学二次方程时常做的题目背景一样。
2019年的高考数学考完，就在网络上遭到一堆吐槽：“数学一卷好难，二卷好难，三卷好难，浙江卷好难，江苏卷好难！”许多呕心沥血讲了几个月的数学老师，到头来连题号都没押中，这或许是高考否定题型训练和题海战术的一个强烈信号！
不靠经验，还能靠什么？解决问题的另一种方式，就是靠思考。用数学这个工具来思考问题，有一个通用的底层程序：找问题、找条件、找关系。
找问题和找条件是解决问题的前提。问题没找准，学生很容易会“表错情”，比如题目明明要求点的坐标，有的学生却把整个解析式填了上去。条件没找全，学生很容易会陷入困境，感到无从下手，有时学生苦思半天不得解，再看一遍题目反而秒懂，就是因为发现了之前忽略条的条件。
找问题和找条件的关键，在于把题目的问题和条件“翻译”成数学语言，我们习惯称之为“数学化”。比如把“小明家和学校的距离有2公里”翻译成“两点之间的线段长2千米”，把“3是关于x的方程x-4a=5的解”翻译成“方程x-4a=5中的x=3”，等等。这不仅考验学生的阅读理解能力，也对学生的生活常识储备提出了一定的挑战。像2019年的高考，就出现了断臂的维纳斯和《周易》的八卦，题目不算难，就看学生能否从中看出问题的本质。
把问题数学化之后，就是找问题和条件、以及条件和条件之间的关系，在处理关系的过程中，找到解决问题的突破口。识别和处理关系的依据，就是学生初中三年来学习的每一个数学知识点。找对了知识点，处理关系的效率会很高，问题的解决也会很顺利；知识点找不对，可能关系都找不出来，更不用说解题效率了，比如有的学生会写出“因为AB∥CD，所以AB=CD”，就是知识点缺乏的表现。
中考数学不是开卷考试，学生不可能随时查阅资料，只能从自己的脑子里提取相关的知识点。可以看出，思考问题的成功与否，就取决于学生的头脑中，是否积累了足够多的的知识点；而知识点的提取效率，决定了思考问题的效率。
与题型相比，知识点的数量要少得多，而且无论题目的形式怎么变，一旦确定其考查的知识点，知识点的用法基本上不会变，变化的顶多是知识点的组合方式，与题型相比，有更强的确定性。因此，我们不妨把中考复习的关注点，落在学生的知识点储备上。这样，学生就可以把有限的时间和精力，投入到更少但更好的复习内容上，效率更容易得到提高。
初中三年的数学知识点，少说也有近100个，一张中考试卷就25道题，把知识点一个不差地考查可能性不大。那么，哪些知识点值得我们优先关注呢？我们有两个办法找到这些知识点。
第一个办法，是看中考考纲里的“考试方式和试卷结构”部分。
以2019年广东中考数学考纲为例，里面的第六部分对试卷的结构进行了说明。其中，选择题和填空题的说明很简单，解答题的说明就很详细：
“解答题（一）（二）包括：
1、计算题【在下列四种形式中任选：数值计算、代数式运算、解方程（组）、解不等式（组）】；
2、计算综合题【在下列四种形式中任选：代数计算综合题、几何计算综合题、统计概率计算综合题】；
3、证明题【在下列两种形式中任选：几何证明、简单代数证明】；
4、简单应用题【包括实际应用和非实际应用．在下列三种形式中任选：方程（组）应用题、不等式应用题、解三角形应用题、函数应用题】；
5、作图题仅限尺规作图．
解答题（三）包括：
代数综合题、几何综合题、代数与几何综合题，各1道．”
考纲的第四部分“考试要求”提到，试卷内容大致比例是：代数约占60分，几何约占50分，统计与概率约占10分。由此，我们可以把知识点分为三大类，代数、几何、以及统计与概率。通常来讲，统计与概率的题目分数不多，难度不大，学生解决起来也挺顺手，所以一般都会当成送分题来看待。实在放心不下，那就把它作为第一个复习内容。
我们主要的精力，还是会放在代数和几何上面。对于学生来讲，似乎代数要比几何更容易接受，因此，我们可以先把目光放在代数上。从考纲对解答题的结构说明可看出，代数里面考查确定性最强的知识点，就是数与代数式的运算、方程（组）和不等式（组）的解法应用、以及函数的应用，我们可以先把它们列入复习清单。考纲对于几何的说明并没有指出具体的知识点，不过根据教材可以知道，几何里面考查确定性最强的知识点，就是几个常见几何图形的判定和性质应用，分别有平行线和相交线、三角形、四边形和圆，我们可以接着把它们放入复习清单。还有一个考查确定性很强的知识点，就是尺规作图，一般会和几何一起考，所以不妨把它跟在几何后面，放入复习清单。
那选择题和填空题怎么办？其实，我们在梳理解答题的知识点时，也顺带着解决了一部分的选择题和填空题，那剩下的怎么办？我们还有另一个办法找到这些知识点，那就是查阅历年中考的高频考点。
查阅考频考点有两种方式，一种是自己统计，打印近十年的中考真题，点开一个Excel表格，就可以逐题分析考点了；另一种是看别人统计的结果，可以在网上搜索，也可以参加各种中考复习研讨会。最好的选择，是两种方式一起做，然后把结果一综合，就能选出一批高频考点，把它们列入我们的复习清单。
有的人可能觉得：“优先复习高频考点，这样做靠谱吗？”靠谱的概率比较大。因为高频考点大多属于代数和几何的核心内容，而对于学生来讲，如果不是复读的话，中考就只有一次，在有且仅有一次的大考中，你不优先考查这些核心的知识点，如何体现数学教学的价值，又如何发挥中考对数学教学的指挥棒作用呢？
至此，我们得到了一张经过筛选的优先复习清单，里面的每个知识点都值得重点关注。那么，我们如何帮助学生复习这些知识点呢？
复习的目的，是帮助学生加深对知识点的记忆，在此基础上实现活学活用。把握三个关键词，我们就可以做到这两点。
第一个关键词，是建立联系。
当我们决定复习某个知识点时，最好的方式是先测验后复习。围绕该知识点设计一个题组给学生做，一来可以根据学生的完成情况，找到学生复习的难点；二来学生也能在犯错的过程中，找到自己复习的重点。
测验后，就是回顾知识点。这里有两个关键点，一个是对学生觉得困难的地方重新作解释，帮助学生理解知识点本身；另一个是把该知识点与其他知识点建立联系，帮助学生从更高的视野来看待。
认知心理学家告诉我们，人们是用已有的知识和经验，来学习新知识的。而数学的知识点本来就自成体系，建立联系对加深记忆的效果更加明显。比如圆的周长公式、面积公式、弧长公式和扇形公式，如果单独记忆的话，学生需要记四个，但如果学生能把弧长看成周长的一部分，把扇形看成面积的一部分，就可以用周长和面积乘以圆心角与360°的比，推出弧长公式和扇形面积公式，也就是说，学生只需要记两个公式，就相当于记住了四个。
另外，在新课学习的阶段，学生主要的任务是打磨每一个知识点，教材也没有把相关的知识点全部汇总在一起，所以，在中考复习时，为知识点建立联系是一件值得做的事情。比如回顾全等三角形时，我们可以带领学生先把初中所有和三角形有关的知识点，分为三角形的基础、特殊三角形（等腰三角形、直角三角形）、以及两个三角形（全等三角形、相似三角形）三个维度进行总结，然后再回顾全等三角形的细节。这样一来，学生就能在头脑里形成一个大致的框架，把全等三角形纳入其中，随着复习进度的推进，框架也跟着逐步完善，学生对它的记忆也在反复的迭代中日益加深。
第二个关键词，是间隔。
学生在考试中丢分，是因为解题出现错误。错误有两种类型，一种是理解型错误，就是不会做，也没蒙对；另一种是技术型错误，本来会做，但就是粗心大意。
回顾完一个知识点，不代表学生就已经理解了，我们需要继续安排几个相关的题组练习，帮助学生逐步消灭理解型错误。练习到什么程度为止呢？我们可以先预期哪些学生能够理解该知识点，当这群学生中的大多数都做到时，练习就可以暂时放下了。至于技术型错误，我们可以通过调整学生的解题习惯来减少。
可是，花了这么大的力气，时间一长就忘记了，怎么办？没关系，我们就是要设置一定的时间间隔，在学生感到忘了的时候，再来一次测验，这对知识点的记忆加深反而更有帮助。
为什么呢？加州大学洛杉矶分校的一对教授夫妻，Robert Bjork 和 Elizabeth Bjork，提出了一个非常漂亮的记忆力理论模型，它能完美解释各种关于记忆和遗忘的现象。
这个理论指出说，人的记忆其实有两个强度：存储强度和提取强度。
其中，存储强度只增不减。学生主动记住的东西，比如一个定理或者一条公式，一旦进入记忆，就会永远待在那里，当学生再次见到它时，它的存储强度会增强，但是它的存储强度不会减弱， 就算学生再也不见它。
那为什么学生做题时就想不起来呢？因为提取强度出了问题。如果没有复习，提取强度就随着时间慢慢减弱。提取强度是越用越高的，每一次提取记忆，提取强度都会增加；而因为这个记忆在脑子里又过了一遍，所以存储强度也增加了。
最重要的是：提取的时候越困难，提取动作对两个强度的增加值就越大。也就是说，回想一个定理或公式越费劲，学生对它的记忆反而会更牢固。
因此，复习一个知识点，最有效率的方法就不是天天复习，也不是复完就不理了，而是故意放几天，等到提取强度慢慢变弱了，学生已经有点“忘记”了，再搞一次测验。这样不仅可以提高复习效率，而且还能通过遗忘过滤掉一些不必要的信息。
第三个关键词，是混合练习。
间隔的期间，我们会继续推进其他知识点的复习，那么，再次测验时，应该如何安排题目呢？答案是，把各种题型混合起来，题目的形式没见过更好，考查的知识点最好也是随机分布。
一方面，因为题目形式没见过，所以学生没办法套题型，只能求助于思考，在练习中得到提高的思考效率，既能带动学生解题效率的提高，又能提高学生对中考试题不确定的适应能力。
另一方面，因为考点随机分布，所以学生每做一道题都得临时判断该有哪些知识点，这对知识点的提取带来了一定的困难，但学生记忆的存储强度和提取强度也因此得到更大的增加值，这才有点学以致用的意思。
从三个关键词可以看出，测验对于中考复习来说，是一个核心的组成部分。除了在课堂上安排题组测验，我们还可以安排课前小测、每周一测、以及个别学生的突击培辅，来确保足够的测验机会。
有的人可能会问：“如果优先复习清单的知识点都搞定了，剩下的知识点怎么办？”其实，我们在建立联系的过程中，一些零碎的知识点也顺带解决了。至于还剩下的，我们可以挑选一本优质的、全面覆盖考试内容的复习资料，让学生做里面的练习。因为主体内容已经复完，所以对学生来说，剩下的个别知识点，不过是在熟悉的练习中遇到的小插曲，只要停下来，琢磨片刻，就能把它带上继续前进。
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